Сопротивление материалов – это раздел «Механики», в котором излагаются теоретико-экспериментальные основы и методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.
Все материалы под нагрузкой деформируются, т.е. меняют размеры и форму. Характер деформации можно проследить при испытании материалов на растяжение. Цилиндрический образец закрепляют в захватах разрывной машины, растягивают и доводят до разрушения. Записывают зависимость между приложенным усилием и деформацией. Получают диаграмму растяжения.
Диаграмма растяжения углеродистой стали:
Деформации после т.2 называются пластическими (полностью не исчезают), а сохранившиеся деформации – остаточными. На участке 01 выполняется закон Гука : В пределах упругости деформации прямо пропорциональны нагрузке. Считают, что все материалы подчиняются з-ну Гука. Считают, что размеры под нагрузкой не изменяются. Расчет ведут, используя принцип начальных размеров. При работе конструкции деформации должны оставаться упругими.
1. Статические нагрузки не меняются со временем или меняются очень медленно. Проводится расчет на прочность. 2. Повторно-переменные нагрузки многократно меняют значение или значение и знак. Действие их вызывает усталость металла.
3. Динамические нагрузки меняют значение в короткий промежуток времени, вызывают большие ускорения и силы инерции и могут привести к внезапному разрушению конструкции.
По способу приложения нагрузки могут быть сосредоточенными или распределенными по поверхности.
Формы элементов конструкций можно свести к трем видам:
Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных частей. Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой части тела.
Построение эпюры продольных сил. Пример:
Гипотеза плоских сечений. Поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси. Принцип смягчения граничных условий. В точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.
Напряжения при растяжении и сжатии Из гипотезы плоских сечений: напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжения можно рассчитать по формуле:
Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения. При расчетах определяются напряжения по сечениям и строятся эпюры нормальных напряжений. Пример: брус нагружен внешними силами вдоль оси.
Продольные и поперечные деформации. Закон Гука Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F. - абсолютное удлинение - абсолютное сужение Принято рассчитывать деформации в относительных единицах:
Закон Гука
Зависимость между нагрузкой, размерами бруса и деформацией: Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой называют расчетом на жесткость.
Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие Схема испытаний: Образец закрепляется в зажимах разрывной машины и растягивается до разрыва. Машина снабжена прибором для автоматической записи диаграммы растяжения - зависимости между нагрузкой и абсолютным удлинением.
2) т.2 соот-ет пределу упругости материала: материал теряет упругие свойства – способность вернуться к исходным размерам; 3) участок 2-3 – образец деформируется без роста нагрузки; текучесть – удлинение при постоянной нагрузке; 4) т.4 соот-ет максимальной нагрузке, в этот момент образуется «шейка». Напряжение в этой точке – временным сопротивлением разрыву, или условным пределом прочности. Зона 3-4 – зона упрочнения. 1) т.1 соответствует пределу пропорциональности – удлинение растет пропорционально нагрузке; подтверждается закон Гука;
Механические характеристики Характеристики имеют условный характер, т.к. при построения диаграммы усилия делят на величину начальной площади поперечного сечения. Приведенная диаграмма растяжения не зависит от абсолютных размеров образца.
Виды диаграмм растяжения
Б) и в) – материалы не имеют площадки текучести.
Предельные и допустимые напряжения Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная деформация). Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести : Для хрупких материалов – предел прочности : Для пластично-хрупких материалов предельным считают напряжение, соответствующее максимальной деформации 0,2%:
Допускаемое напряжение – максимальное напряжение, при котором материал должен надежно работать. зависит от качества материала, условий работы детали, ее назначения, точности обработки и расчета и т.д. 1. При сжатии пластичные материалы работают так же как при растяжении. 2. Хрупкие материалы обладают большей прочностью при сжатии, поэтому и отличаются.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии Расчеты на прочность производятся по условиям прочности:
Три вида расчета на прочность:
Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила (болты, штифты, шпонки, заклепки). Брус под действием сил, равных по величине, противоположно направленных, перпендикулярных продольной оси.
Для обеспечения равновесия на гориз. площадках возникают такие же напряжения, образующие такую же пару обратного направления. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Здесь действует закон парности касательных напряжений. В результате площадки сдвигаются на угол - угол сдвига.
При сдвиге з-н Гука: При отсутствии специальных испытаний рассчитывают по формуле: , где Для упрощения расчетов деталей на сдвиг принимают ряд допущений: - при расчете на сдвиг изгиб деталей не учитывается, хотя силы, действующие на деталь, образуют пару;
- при расчете считается, что силы упругости распределены по сечению равномерно; - если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считается, что внешняя сила распределяется между ними равномерно. Т.обр., формула для расчета напряжений имеет вид:
Часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия Условие прочности при смятии:
Схема передачи давления на стержень заклепки
1. Статический момент площади сечения
2. Осевые моменты инерции
3. Полярный момент инерции сечения
Моменты инерции простейших сечений 1. Прямоугольник
2. Полярный момент инерции круга: ; кольца:
3. Осевые моменты инерции круга и кольца
Деформации при кручении
Гипотезы при кручении : Гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси до и после деформации. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деф-ции остается прямой линией. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.
Рассечем брус плоскостью 1, рассмотрим равновесие отсеченной части и сечение со стороны отброшенной части.
Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть:
Пример
Напряжения при кручении
Напряжение в любой точке поперечного сечения Формула для определения напряжений в точке поперечного сечения: ρ – расстояние от точки до центра круга. Интеграл - полярный момент инерции сечения, геом. харак -ка сечения при кручении, характеризует сопротивление сечения скручиванию. Анализ ф– лы показывает: слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.
Максимальные напряжения при кручении - возникают на поверхности. Учитываем: Для круглого сечения: - момент сопротивления при кручении, или полярный момент сопротивления.
Условие прочности при кручении:
Расчет на жесткость
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор – изгибающий момент.
Внутренние силовые факторы при изгибе Пример: Балка под действием пары сил с моментом и силы. Воспользуемся методом сечений. Рассмотрим равновесие участка 1. N=0. Суммируем элементарные моменты сил упругости в сечении 1-1 отн-но оси Ox : - называется изгибающим моментом
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называется нейтральной осью. Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Из уравнения равновесия:
Т.обр., в сечении 1-1 продольная сила равна нулю, изгиб. момент постоянен. Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, называется чистым изгибом. Рассмотрим равновесие участка от свободного конца до сеч.2. Уравнение равновесия: В сечении бруса 2-2 действует поперечная сила, вызывающая сдвиг.
Выводы:
Пример
Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов 1. Под нагруженной балкой строим расчетно-графическую схему. 2. Из уравнений равновесия балки определяем реакции опор балки. 3. Используя метод сечений, определяем значения поперечных сил в характерных точках, т.е. точках, в которых приложены внешние нагрузки (необходимо учитывать знаки моментов). 4. По полученным значениям поперечных сил строим эпюру ; в характерных точках на оси балки откладываем значения в масштабе. 5. Используя метод сечений, определяем величину в тех же характерных точках, строим эпюру изгибающих моментов.
Правила построения эпюр
При проверке эпюр используют дифф-ные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом:
Условие прочности при изгибе Эпюра распределения нормальных напряжений: Условие прочности (проверочный расчет): - момент сопротивления сечения при изгибе. - Максимальное напряжение возникает на поверхности. Рассчитать на прочность – это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.
Рациональные сечения при изгибе 1. Прямоугольник
Касательные напряжения при изгибе В поперечном сечении балки возникают изгибающий момент и поперечная сила. Рассмотрим участок Поперечная сила представляет собой равнодействующую касательных сил упругости, возникающих в поперечных сечениях.
В силу парности касательных напряжений в продольных сечениях балок, параллельных нейтральному слою, возникают такие же по величине касательные напряжения. На поверхности =0. Для прямоугольного сечения:
Расчет на жесткость Под действием внешних сил ось бруса испытывает линейное перемещение ( прогибы ) и угловое перемещение. Угол поворота проверяется неравенством: Максимальные прогибы обозначают. Условие жесткости:
Напряженное состояние в точке
Положения теории напряженного состояния
При нагружении конструкции деформируются. Деформации сжатия, среза, кручения, смятия, чистого изгиба относят к простым деформациям.
Универсального критерия для расчета таких конструкций нет. Разработано несколько гипотез предельных состояний. Расчеты по гипотезам прочности позволяют избегать дорогостоящих испытаний конструкций.
Расчет круглого бруса на изгиб с кручением В этом случае учитываются нормальные и касательные напряжения, т.к. максимальные значения напряжений возникают на поверхности. Расчет следует по теории прочности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным простым.
Некоторые элементы конструкций, называемые стержнями (длина гораздо больше поперечного сечения), под действием сжимающих сил испытывают деформацию продольного изгиба. Продольным изгибом называется деформация стержня большой длины от сжимающей нагрузки в результате потери жесткости или потере упругости. Нагрузка, при которой стержень теряет устойчивость, называется критической силой. Она определяется по формуле Эйлера :
Формула для расчета критической силы для всех случаев:
Для того чтобы стержень сохранял устойчивую форму равновесия, величина сжимающей силы должна быть меньше критической: F сж >F кр. Величина, которая показывает, во сколько раз сжимающая сила д.б. меньше критической силы, называется рабочим коэффициентом устойчивости: Условие устойчивости сжатых стержней:
При задании допускаемого коэффициента устойчивости учитывается материал и способы закрепления концов стержня, режим его работы и характер нагрузок. Под действием критической силы в поперечных сечениях стержня возникает критическое напряжение, которое определяется по формуле: Минимальный радиус инерции : - введем в формулу:
Гибкость не зависит от материала, а определяется только геометрией стержня.
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций, т.е. критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала. Предел упругости при расчетах можно заменять пределом пропорциональности материала (характеристика материала, работающего в пределах з-на Гука). Откуда гибкость стержня: - предельная гибкость.
