Способы решения Системы уравнений
Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Способ подстановки Способ сложения Графический способ Способ замены
Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Решить получившееся уравнение с одной переменной. Найти соответствующее значение второй переменной.
Решим систему уравнений: 1. Выразим из первого уравнения y через x : y=7-3x. 2. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-3х, получим систему: 3. В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3, -11х= -11, х=1. 4. Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1, найдём соответствующее значение у : у=7-3 1, у=4. Пара (1;4) – решение системы (1).
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Сложите почленно левые и правые части уравнений системы. Решите получившееся уравнение с одной переменной. Найдите соответствующее значение второй переменной.
Решим систему: 1. Умножим все члены первого уравнения на - 2 : уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при в полученных уравнениях будут противоположными числами: 2. Т П очленно сложим и получим уравнение с одной переменной : -29у=58. 3. Из этого уравнения находим, что у=58/(-29)= -2. 4. Подставив во второе уравнение вместо у число -2, Найдём значение х : 10х-7*(-2)=74, 10х=60, х=6. Ответ : х=6, у= -2
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Построить график функции, заданной первым уравнением системы. Построить график функции, заданной вторым уравнением системы. Определить координаты точек пересечения графиков функций.
Решим систему уравнений: 1. Построим график линейной функции 2х+3у=5. Её графиком является прямая АВ. 2. Построим график линейной функции 3х-у=-9. Её графиком является прямая С D. 3. Графики пересекаются в точке К(-2;3). Значит, система имеет Единственное решение: х= -2, у=3 3 -2 К y x D C A B 0
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Пример : Решим систему Сделаем замену: Получим систему: Разложим левую часть второго уравнения на множители: - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение b, найденное из первого приходим к уравнению, т.е. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и. Соответствующие значения b таковы: и. Переходим к переменным х и у. Получаем:, т.е., ,,. Ответ:(1;27), (27;1).
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Пример : Решим систему уравнений Из второго уравнения системы находим 2х-у=1, откуда у=2х-1. Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1 получим, откуда. Обозначим, получим квадратное уравнение . Находим корни этого уравнения: . Уравнение замены решений не имеет. Корнем уравнения является число х=2. Соответствующее значение у=3. Ответ :(2;3).
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Пример : Решим систему уравнений Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2, а второе – уравнению, причём х > 0 и у > 0. Подставляя у =х+2 в уравнение, получим х(х+2)=48, откуда ,т.е. х= -8 или х=6.Но так как х >0, то х=6 и тогда у=8. Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х=6, у=8. Ответ: (6;8).
1. 2. 3. 4. 5. 6.
