Актуальность изучения взаимосвязей экономических явлений Виды связей между признаками явлений Парная линейная и нелинейная связи. Множественная линейная и нелинейная связи. 1
1. Виды связей между признаками явлений В статистике различают: 2 функциональную стохастическую Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Функциональные связи между признаками изучаются в экономике посредством индексного метода. При стохастической связи каждому отдельному значению факторного признака х отвечает определенное множество значений результативного признака у.
парную множественную Изучение влияния одного факторного признака х на результирующий признак у. Изучение влияния нескольких факторных признаков х на результирующий признак у. прямая обратная с увеличением х увеличивается у. с увеличением х уменьшается у. линейная нелинейная значения признаков в первой степени значения признаков в любой степени
2.Парная линейная и нелинейная связи. Частным случаем статистической связи является корреляционная связь. Корреляционная связь между признаками х и у (это связь в среднем: заданному значению х ставится в соответствие среднее значение y ) записывается в виде уравнения корреляционной связи, или уравнения регрессии: Y = f (х), где f (х) — определенный вид функции корреляционной связи, которая описывает линию регрессии. 4
Графическое представление связи 5
Парная регрессия Наиболее часто для характеристики корреляционной связи между признаками применяют такие виды уравнений парной регрессии, или корреляционных уравнений: а) линейный (8.2) б) параболический (8.3) в) гиперболический (8.4) г) степенной (8.5) и др. где а 0, а 1 — параметры уравнений регрессии, которые подлежат определению и находятся методом наименьших квадратов(МНК). 6
В случае линейной связи ее теснота измеряется с помощью коэффициента парной корреляции и детерминации : r 2 - коэффициент детерминации. Он показывает меру качества уравнения регрессии: чем ближе r 2 к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между x i и y. Коэффициент детерминации может быть выражен в процентах. 7
Количественные критерии оценки тесноты связи 8
Оценка линейного коэффициента корреляции 9
10
4.Множественная линейная и нелинейная связи. Если на результативный фактор влияет не один, а несколько факторов, то применяют (не парную), а множественную регрессию. Эта связь может быть выражена линейными и нелинейными функциями. Наиболее часто используемой является линейная функция – уравнение множественной линейной регрессии в виде: где а 0,… а k — параметры уравнений регрессии (находятся с помощью МНК). Они показывают, на сколько изменится y при изменении x i на 1 единицу и при неизменных остальных факторах. 11
Виды уравнений множественной регрессии: 1) линейная: 2) степенная: 3) показательная: 4) параболическая: 5) гиперболическая:
Теснота связи y со всей совокупностью факторов x i определяется с помощью множественного коэффициента корреляции R Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 ≤ R ≤ 1.
В частном случае двухфакторной линейной регрессии можно использовать формулу(выраженную через парные коэффициенты корреляции:
15
Коэффициент множественной детерминации показывает, в какой мере вариация результативного признака у определяется вариацией факторного признака х. Коэффициент детерминации принимает значение от 0 до 1. 16
5. Оценка и проверка качества модели А). для парной связи После установления тесноты связи дают оценку значимости связи между признаками. Под термином «значимость связи» понимают оценку отклонения выборочных переменных от своих значений в генеральной совокупности посредством статистических критериев. Оценку значимости связи осуществляют с использованием F -критерия Фишера и t -критерия Стьюдента. Для парной регрессии (линейной и нелинейной) F -критерий Фишера рассчитывается по формуле: где [1, n -2] – число степеней свободы числителя и знаменателя формулы.
Под термином «степень свободы» понимают целое число, которое показывает, сколько независимых элементов информации в переменных у нужно для суммы их квадратов, что объясняет соответствующую дисперсию: общую, межгрупповую, среднюю из групповых. Для множественной регрессии степени свободы равны: (k ; n-k-1) Теоретическое значение (рассчитанное по формуле) F сравнивают с табличным (критическим) значением F табл. Последнее выбирают из справочных математических таблиц F -критерия Фишера в зависимости от степеней свободы 1, (п - 2) и принятого уровня значимости ά (альфа). (0,05 -5% вероятность допустимой ошибки) Если F > F табл, то связь между признаками признается значимой.
Для проверки значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии а i (i=1,..,k) используют Критерий Стьюдента: Коэффициенты уравнения (модели) признаются статистически значимыми, если |t i | >t ( ά ; n-k-1). Где: t ( ά ; n-k-1) - табличное значение. ά - уровень значимости n - k -1 - число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности. n – число наблюдений k – число факторных признаков.
Пример: Обработать данные социологического опроса работников предприятия. где 4, 5,8,10 -частоты Y \ X Мужчины Женщины Итого Имеют в/о 4 5 4+5 Без в/о 8 10 8+10 Итого 4+8 5+10 4+5+8+10
Вычисление коэффициентов ассоциации и контингенции Коэффициенты вычисляются по формулам: ассоциации и контингенции Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации.
Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона-Чупрова. Эти коэффициенты вычисляются по следующим формулам: где φ2 — показатель взаимной сопряженности; φ — определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот, соответствующего столбца и строки. Вычитая из этой суммы «1», получим величину φ 2: К1 - число значений (групп) первого признака; K 2 - число значений (групп) второго признака. Чем ближе величина Кп и Кч к 1, тем теснее связь.
Ранговые коэффициенты связи Среди непараметрических методов оценки тесноты связи ранжированных признаков наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена (ρ xy ) и Кендалла (τ xy ). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками.
Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле где d i 2 ( R xj – R yj ) - квадраты разности рангов; п — количество единиц в ряду. Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале -1; 1. Если d i =0 p=1 – существует тесная прямая связь. Если первому рангу по размеру одного признака соответствует последний ранг по размеру второго признака, второму рангу – предпоследний ранг второго признака и т.п., то p = - 1, и существует тесная обратная связь. Если значение p близко к 0, то связь слабая или ее вообще нет.
Алгоритм проведения корреляционно-регрессионного анализа. отбор наиболее существенных данных для включения в корреляционно-регрессионные модели, дифференциация их на объясняющие и результативные признаки; выявление причин возникновения взаимосвязей между признаками, предварительный расчёт и анализ парных коэффициентов корреляции, построение матрицы коэффициентов множественной корреляции и оценка возможных вариантов группировки признаков для построения регрессионной модели; решение уравнения регрессии – вычисление коэффициентов уравнения регрессии и их смысловая интерпретация; статическая оценка достоверности параметров уравнения и общая оценка качества модели; практические выводы из анализа, применение результатов анализа для совершенствования планирования и управления экономическим процессом.
