• Справочный материал Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов. где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.
Формула Бернулли – формула вероятности k успехов в серии из n испытаний где – число сочетаний, р – вероятность успеха, q = 1 – р – вероятность неудачи. При подбрасывании симметричной монеты, когда р = q = ½, формула Бернулли принимает вид: Например, вероятность выпадения орла дважды в трех испытаниях:
Большинство задач можно решить с помощью классической формулы вероятности: Некоторые методы решения задач 2. Задачи с монетами ( и игральной костью) при небольшом количестве подбрасываний удобно решать методом перебора комбинаций. Метод перебора комбинаций : – выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например, ОО,ОР,РО, РР. Число таких комбинаций – n; – среди полученных комбинаций выделяем те, которые требуются по условию задачи (благоприятные исходы), – m ; – вероятность находим по формуле:
3. При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле Аналогично при бросании кубика 4. Комбинаторный метод решения можно применять при подсчете количества исходов с помощью формул комбинаторики.
•Решение задач по формуле вероятности n = 4 – число всех элементарных исходов; m = 1 – число благоприятных исходов (жребий выпал на маму). Решение 1. Папа, мама, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама. Ответ: 0,25
2. Женя, Лена, Маша, Аня и Коля бросили жребий – кому идти в магазин. Найдите вероятность того, что в магазин надо будет идти Ане. n = 5 – число всех возможных исходов; Ответ: 0,2 m = 1 – число благоприятных исходов (в магазин идти Ане). Решение
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение n = 100 + 8 = 108 – число всех возможных исходов (всего сумок); m = 1 00 – число благоприятных исходов (качественная сумка). Ответ: 0,93
4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение n = 1000 – число всех возможных исходов (всего насосов); m = 1 000 – 9 = 991 – число благоприятных исходов (насос не подтекает). Ответ: 0,991
5. На семинар приехали трое ученых из Норвегии, четверо из России и трое из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Решение n = 3+4+3=10 – число всех возможных исходов, (число всех претендентов на это, в данном случае восьмое, место); m = 4 – число благоприятных исходов (число претендентов из России). Ответ: 0,4
6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение n = 20 – число всех возможных исходов,(число всех претендентов на это место, причем это может быть1, 2, …, 8, последнее место); m = 20 – (8+7)=5 – число благоприятных исходов (число претендентов из Китая) Ответ: 0,25
7. Бросают игральную кость. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее 4 очков. Решение m = 3 – число благоприятных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3). Ответ: 0,5 n = 6 – число всех возможных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6); •Решение задач с игральной костью
8. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков? Решение m = 3 – число благоприятных исходов (выпадение чисел 1, 3, 5) Ответ: 0,5 n = 6 – число всех возможных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6),
9. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков? Решение m = 3 – число благоприятных исходов (выпадение чисел 1, 3, 5) Ответ: 0,5 n = 6 – число всех возможных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6),
10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение n = 6*6 = 36 – число всех возможных исходов (выпадение чисел на двух кубиках: { 1,1 } {1,2 } {1,3 } {1,4 } {1,5 } {1,6 } {2,1 } {2,2 } {2,3 } {2,4 } {2,5 } {2,6 } … {6,1 } {6,2 } {6,3 } {6,4 } {6,5 } {6,6 }) ; m = 5 – число благоприятных исходов (выпадение чисел {2, 6} {3, 5} {4, 4} {5, 3} {6, 2}).
11. Лена дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 6 очков. Решение m = 1 – число благоприятных исходов, {5,6 }. Ответ: 0,5 При бросании кубика 11 очков можно получить двумя способами 5+6 или 6+5. n = 2 – число всех возможных исходов, {5,6 } {6,5 } ;
12. Наташа и Вика играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Наташа проиграла. При бросании кубика 9 очков можно получить четырьмя способами: 3+6, 4+5, 5+4, 6+3; n = 4 – число всех возможных исходов, { 3,6 } { 4,5 } {5,4 } {6,3 } ; m = 2 – число исходов, при которых у Наташи (на первом кубике) выпало меньше очков, чем у Вики. Решение Ответ: 0,5
13. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. { О О } { О Р } { Р О } { Р Р } n = 4 – число всех возможных исходов: Монету бросают 2 раза. Обозначения: О – выпадение орла, Р – выпадение решки, { О Р } - выпадение орла в первом броске, решки – во втором. m = 2 – число благоприятных исходов (выпадение орла ровно один раз) •Решение задач с монетами Решение
n = 8 – число всех возможных исходов; m = 1 – число благоприятных исходов (выпадение орла в трех бросках). 14. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Меркурий» играет по очереди с командами «Марс», «Юпитер», «Уран». Найти вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом получит команда «Меркурий». Монету бросают 3 раза. Для команды «Меркурий» возможные исходы в трех бросках → { О О О } { Р О О } { О Р О } { О О Р } { Р Р О } { Р О Р } { О Р Р } { Р Р Р } Решение
15. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение Вероятность попадания в мишень равна 0,7; вероятность промаха равна 1 – 0,7 = 0,3. Т. к. результаты выстрелов – независимые события, вероятность того, что биатлонист четыре раза попал в мишень, а один раз промахнулся, равна: Ответ: 0,07 Задачи на сложение и умножение вероятностей Р= 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ≈ 0,07
320183 Решение: Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна: 0,4 · (1 − 0,9) = 0,04 Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна: 0,6 · (1 − 0,2) = 0,48 Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Источники: : 1. И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко Рабочая тетрадь ЕГЭ 2012 Математика.Задача В10 2. Первое сентября. Математика, январь, март 2012 3. ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика. Все задания группы В. Закрытый сегмент / А.Л. Семенов, И.В. Ященко, и др. / – Издательство «Экзамен», 2012. 4. http://mathege.ru Открытый банк заданий по математике 5. http://www.postupivuz.ru 6. http://alexlarin.com 7. http://www.berdov.com 8. http://www.youtube.com
