Случайные события Определение вероятности
Возникла в 17 веке. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).
Б. Паскаль П. Ферма
X. Гюйгенс Я. Бернулли
В 18 веке французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон(2048 из 4040) и в начале 20 века английский математик Карл Пирсон(12012 из 24000) проводили эксперименты с монетой. Карл Пирсон Жорж Луи де Бюффон
В 18 и начале 19 веках теория вероятностей находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы) Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире
Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента в одних и тех же условиях Событие - это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания ПРИМЕРЫ СОБЫТИЙ Из ящика с разноцветными шарами наугад вынимают черный шар При бросании игральной кости выпала цифра 7 При телефонном вызове абонент оказался занят Вы вытащили черный шар Появление герба при подбрасывании монеты
Случайный эксперимент – это эксперимент, опыт, испытание, наблюдение, измерение, результаты которого зависят от случая и который можно повторить много раз в одинаковых условиях. (События обозначаются прописными (заглавными ) буквами латинского алфавита: А, В, С, …) Случайные эксперимент (опыт, эксперимент) – выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание может осуществляться человеком, но может производиться и независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя
Равновозможные события – это события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще других при многократных экспериментах, проводимых в одинаковых условиях ПРИМЕРЫ Извлечение из колоды карт туза, валета, короля или дамы Появление герба или решки при подбрасывании монеты Достоверные события – это события, которые при нормальных условиях всегда выполняются обязательно Невозможные события – это события, которые в данных условиях никогда не происходят ПРИМЕРЫ В партии все изделия стандартные, то извлечение из нее стандартного изделия – событие достоверное, извлечение бракованного изделия – событие невозможное
Событие В называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Событие, противоположное событию А, обозначается ПРИМЕРЫ «Появление герба» и «появление решки» при подбрасывании монеты «Отсутствие бракованных изделий» и «наличие хотя бы одного бракованного изделия» в партии Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них ПРИМЕРЫ События, состоящие в том, что в семье из двух детей: А – « два мальчика», В – « один мальчик и одна девочка», С – «две девочки» – являются единственно возможными Событие В называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Событие, противоположное событию А, обозначается ПРИМЕРЫ «Появление герба» и «появление решки» при подбрасывании монеты «Отсутствие бракованных изделий» и «наличие хотя бы одного бракованного изделия» в партии Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них ПРИМЕРЫ События, состоящие в том, что в семье из двух детей: А – « два мальчика», В – « один мальчик и одна девочка», С – «две девочки» – являются единственно возможными
События А и В называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события А и В называются совместными (совместимыми) ПРИМЕРЫ Выигрыш по одному билету лотереи двух ценных предметов – события несовместные, a выигрыш тех же предметов по двум билетам – события совместные Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» – события несовместные, а получение тех же оценок на экзаменах по трем дисциплинам – события совместные Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания ПРИМЕРЫ События, состоящие в том, что в семье из двух детей: А – «два мальчика», В – «один мальчик и одна девочка», С – «две девочки» – являются единственно возможными – образуют полную группу События А и В называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события А и В называются совместными (совместимыми) ПРИМЕРЫ Выигрыш по одному билету лотереи двух ценных предметов – события несовместные, a выигрыш тех же предметов по двум билетам – события совместные Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» – события несовместные, а получение тех же оценок на экзаменах по трем дисциплинам – события совместные Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания ПРИМЕРЫ События, состоящие в том, что в семье из двух детей: А – «два мальчика», В – «один мальчик и одна девочка», С – «две девочки» – являются единственно возможными – образуют полную группу
Основные понятия (вероятность события) Вероятность события – численная мера степени объективной возможности наступления события А ксиоматическое определение вероятности события Вероятностью Р(А) называется числовая функция, определенная для всех событий А поля F (поля событий для данного эксперимента) и удовлетворяющая трем аксиомам вероятностей: 3.Для любой конечной или бесконечной совокупности наблюдаемых событий таких, что ø при Смысл этих аксиом: вероятность есть неотрицательная, нормированная и аддитивная функция
Основные понятия (вероятность события) Классическое определение вероятности события Вероятность Р(А) события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев: , где Р(А) - вероятность события А m – число случаев, благоприятствующих событию А n – общее число случаев Вероятность достоверного события равна единице Р(А)=1 Вероятность невозможного события равна нулю Р(А)=0 Вероятность случайного события Р(А):
ПРИМЕРЫ Задача 1: В урне находятся 12 шаров, пять из них красных. Найти вероятность, что наудачу вынутый шар – красный Решение: Пусть случайное событие А – наудачу вынутый из урны шар – красный. Всего шаров – 12, значит n=12, из них красных – 5, значит число благоприятствующих исходов m =5. Тогда Основные понятия (вероятность события)
Основные понятия (вероятность события) Геометрическое определение вероятности события Геометрическое определение вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай бесконечного числа исходов (на случай непрерывных пространств). В этом случае множество исходов испытания интерпретируется некоторым множеством точек области G, а данному событию A - точки области g (А), ( g (А) G ) Тогда Вероятность события А равна отношению меры области g (А) к мере области G : где мера области – длина, площадь или объем Основные понятия (вероятность события)
ПРИМЕРЫ Задача 1: В окружность радиуса R вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в квадрат? Решение: Пусть случайное событие А - наудачу брошенная в круг точка попадет в квадрат. Тогда вероятность события А равна отношению площади квадрата к площади круга, т.е. Основные понятия (вероятность события)
Основной недостаток классического и геометрического определений вероятности Необходимость обоснования равновозможности исходов испытания (опыта, эксперимента) Основные понятия (вероятность события)
Основные понятия (вероятность события) Статистическое определение вероятности события Если при неизменных условиях случайный эксперимент проведен n раз и в n (А) случаях произошло событие А, то число n (А) называется частотой события А. Относительная частота случайного события – это отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов. Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу, то это число называется в ероятностью случайного события А. Вероятность события обозначается Р. (статистическое определение вероятности) Основные понятия (вероятность события)
Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Например, при многократном бросании игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков от 1 до 6 колеблется около числа Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота события «выпадения герба» незначительно отличалась от Основные понятия (вероятность события)
Экспериментатор Число бросаний Число выпадений герба Частота Ж. Бюффон (18 век) 4040 2048 0,5080 К. Пирсон ( начало 20 в. ) 12000 6014 0,5016 К. Пирсон ( начало 20 в. ) 24000 12012 0,5006 Таблица результатов, полученных французским естествоиспытателем Жоржем Луи Леклерк Бюффоном и английским статистиком Карлом Пирсоном Жорж Луи Леклерк Бюффон (1707 – 1788) Карл Пирсон (1857 – 1936)
Учитывая, что в каждом эксперименте происходит одно и только одно из событий: ИЛИ А, или В, то n (А)+ n (В)= n. Тогда Рассмотренные эксперименты являются статистически стойкими, поэтому при больших значения n относительные частоты события А и события В практически совпадают с вероятностями этих событий P(A)+P(B)=1
Зная вероятность события, мы можем прогнозировать частоту его появления в будущем при большом количестве соответствующих экспериментов Замечание ! Если при проведении большого числа случайных экспериментов значения относительной частоты случайного события близки к некоторому определенному числу, то говорят, что относительная частота имеет статистическую устойчивость, а такие случайные эксперименты называют статистически устойчивым Чем больше число проведенных случайных экспериментов, тем ближе значение относительной частоты случайного события к вероятности этого события
Число экспериментов 10 20 30 50 100 200 500 1000 2000 Число падений кнопки острием вниз(частота) 5 9 14 22 45 92 226 450 909 Относительная частота падения кнопки острием вниз 0,5 0,45 0,47 0,44 0,45 0,46 0,45 0,45 0,45 По данным таблицы можно сделать вывод, что вероятность падения кнопки острием вниз приблизительно равна 0,45 или 45% Вероятность достоверного события равна 1: Р( U ) =1 Вероятность невозможного события равна 0: P( )=0 Т.о. вероятность любого события А может принимать любые значения от 0 до 1
В пакете лежат 20 зеленых и 10 желтых груш. Какова вероятность вынуть из пакета грушу?(1) Какова вероятность вынуть из пакета яблоко? (0) В классе из 30 учеников, где 17 мальчиков и 13 девочек, наугад выбирается один ученик. Какова вероятность того, что это мальчик? Решение: Обозначим через А событие: наугад выбранный ученик – мальчик. Число благоприятных событию А исходов равно 17, т.е. m =17, а число всех исходов равно 30, т.е. n =30, поэтому Р(А)=17/30. Какова вероятность события А – наугад названное число из натуральных чисел от 5 до 28 кратно 5? Решение: Множество исходов, благоприятных событию А: { 5;10;15;20;25 }, т.е. m =5, а всего чисел от 5 до 28 имеется 24, т.е. n =24, поэтому Р(А)=5/24 Примеры решения задач
Из ящика, в котором а белых, b красных и с черных шаров, наугад вытащили шар. Какова вероятность того, что выбранный шар оказался черным? Решение: Пусть событие А – наугад вытащеный шар оказался черным. Число благоприятных событию А исходов равно с, т.е. т=с, всего шаров n=a+b+c, а значит, Р(А)=с/( a+b+c ) Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Найти вероятность того что, номер набран верно(событие А), если известно, что цифра нечетная. Решение: Нечетные цифры – 1,3,5,7,9, значит, n =5, т=1, Р(А)=
Игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность следующих событий: а)Выпадает 1(событие А);б)выпадает больше 3 очков (В); в)выпадет не больше 4 очков (С); г)число выпавших очков будет квадратом натурального числа( D ). Решение: Всего при этом испытании возможно выпадение шести цифр, определяющих число выпавших очков, - 1,2,3,4,5,6, т.е. n =6. а)Множество исходов, благоприятных событию А : Р(А)=1/6; б) Множество исходов, благоприятных событию В : Р(В)=3/6=1/2; в) Множество исходов, благоприятных событию С : Р(С)=4/6=2/3; г) Множество исходов, благоприятных событию D : Р( D )=2/6=1/3
Бросают три монеты. Какова вероятность следующих событий: А – орлов больше, чем решек, В – выпало две решки, С – выпало 3 орла, Д – три монета выпали одинаковыми сторонами, Е - решек не больше одной? Решение: Рассмотрим все возможные варианты выпадения монет: (ООО), (ООР), (РОО), (ОРО), (РРО), (РОР), (ОРР), (РРР). Событие А : n =8; m =4; Р(А)=4/8=1/2; Событие В : n =8; m =3; Р(В)=3/8; Событие С : n =8; m =1; Р(С)=1/8; Событие Д : n =8; m =2; Р( D )=2/8=1/4; Событие Е : n =8; m =4; Р(Е)=4/8=1/2.
Набор для игры в домино имеет 28 костей. Наугад берут 2 кости. Они оказываются не дублями. Найти вероятность следующих событий: а) третья, наугад взятая кость оказалась дублем (событие А); б) третья, наугад взятая кость оказалась не дублем (событие В) Решение: Было 28 костей, две забрали, значит n=26 а)Дублей всего 7 костей, а именно (0;0) (1;1) (2;2) (3;3) (4;4) (5;5) и (6;6). Значит m=7, поэтому Р(А)=7/26; б)Так как дублей 7, то недублей 26-7=19 m=19. Р(В)=19/26
Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций Размещения Перестановки Сочетания Без повторений С повторениями
На карточках написаны буквы у, ч, р, а, к. Какова вероятность того, что, переставляя наугад все буквы, мы получим слово «ручка» (событие А) ? Решение: Множество букв состоит из пяти элементов, используются все элементы, значит, n =Р 5 ; n =5! Из всех получаемых «слов» нас у c траивает только одно, значит, m =1, т.е. Р(А)=1/5!=1/120
Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны? Решение: 1-ая цифра – из 9-ти (кроме 0); 2-ая – из 9-ти; 3-я – из 8-ми; 4-я – из 7-ми; 5-я – из 6-ти. Т.е. 9*9*8*7*6=27216 вариантов. Примеры решения задач с использованием комбинаторных формул
Составить различные перестановки из элементов множества Решение: Примеры решения задач с использованием комбинаторных формул
В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовых цветков. Решение: а) Порядок выбора не имеет значения, поэтому Примеры решения задач с использованием комбинаторных формул
а) б) красные: б) розовые: в) 4 красных, 3 розовых гвоздики: Примеры решения задач с использованием комбинаторных формул
Замок с «секретом» содержит четыре шестигранные призмы, которые поворачиваются независимо друг от друга вокруг общей оси. На каждой боковой грани призмы выбита одна цифра от 1 до 6. Поворачивая призмы, получают в прорези замка четырехзначное число. Замок открывается лишь тогда, когда набрано четырехзначное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность того, что один человек, не знающий «секрета» замка, откроет его за один произвольный набор четырехзначного числа(событие А)? Решение: т= 1; n =6 4, т.к. в каждом из четырех окошек может оказаться любая из шести цифр.
Номер телефона составлен из семи цифр. Какова вероятность того, что все цифры в номере разные? Решение: На каждом из семи мест номера может стоять любая из 10 цифр, т.е. число всех возможных номеров (считаем, что номер может начинаться с 0). Теперь вычислить число благоприятных событию В (все цифры в номере разные ) исходов: из 10 возможных цифр выбираются 7 разных, значит, это размещение без повторений(используется не все множество цифр, и порядок элементов в номере важен). Значит,.
В колоде 52 карты. Игрок наугад получает 3 карты. Какова вероятность того, что это будет тройка, семерка и туз (событие А)? Решение: Всего возможных вариантов. Получить одну тройку из четырех карт (троек) колоды существует способов, одну семерку - способов и туз - способов, итого благоприятных исходов.
Все 30 студентов группы родились в 1992 году. Какова вероятность того, что все студенты этой группы родились в разные дни этого года? Решение: В 1992 году 365 дней, т.к. год невисокосный, т.е. любой из 30 студентов может иметь день рождения в любой из 365 дней года, т.е. n =365 30 Пусть событие А – все студенты этой группы родились в разные дни. Число благоприятных событию А исходов,т.к. с точки зрения стороннего наблюдателя все равно, кто родился и в какой день.
Из колоды в 36 карт наугад выбирают 6 карт. Какова вероятность того, что среди этих 6 карт окажутся 2 туза, 2 короля и 2 дамы любой масти (событие А)? Решение: В выборе 6 карт из 36 порядок выбора значения не имеет и используется не все множество карт, значит,. Выбрать 2 туза из 4 находящихся в колоде можно способами, королей - способами, а дам - способами. По правилу произведения
Т1: P (А+В)= P ( A )+ P (В) – теорема сложения для несовместных событий Т2: P (АВ)= P ( A ) P (В) – теорема умножения для независимых событий Т3: P (А+В)= P ( A )+ P (В)-Р(АВ) – теорема сложения для совместных событий Т4: P (АВ)= P ( A ) P (В/А)=Р(В)Р(А/В) – теорема умножения Чаще эта используется формула в виде: P (В/А)= P ( AB )/ P (А).
(Пример: в урне 3б и 3ч шара. Дважды вынимают по 1 шару, не возвращая. Найти вероятность появления б шара (событие В) при условии, что в 1 раз был вынут ч шар(событие А). Решение: 1. после первого испытания в урне 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность P А( B )=3/5. Этот же результат можно получить по формуле P А( B )= P ( AB )/ P ( A ). Вероятность появления белого шара при 1-м Σ Р(А)=1/2. Общее число исходов совместного появления 2-х шаров равно числу размещений, из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3*3=9 исходов. Тогда искомая условная вероятность P (В/А)= P ( AB )/ P (А) =(3/10)/(1/2)=3/5. Как мы видим, получен прежний результат). Исходя из классического определения вероятности, формулу P (В/А)= P ( AB )/ P (А) можно доказать. Это обстоятельство служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения: условная вероятность события В при условии, что А уже произошло, по определению, равна P (В/А)= P ( AB )/ P (А).
- Формула полной вероятности
Безусловные вероятности трактуются как доопытные ( априорные ) вероятности гипотез. Пусть событие А осуществилось. Какова послеопытная ( апостериорная ) вероятность гипотез при условии, что событие А имело место? Ответ дается формулой Байеса, где – полная вероятность А. Формула Байеса позволяет «переоценить» вероятность каждой из гипотез после новой информации относительно наблюдаемых событий.
Литье в болванках поступает из двух подготовительных цехов; 70% из первого и 30% из второго. При этом заготовки первого цеха имеют 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что: взятая наугад болванка имеет брак; эта бракованная болванка изготовлена в первом цехе. Решение: Случайное событие А – взятая наугад болванка бракованная. Гипотезы : - взятая наугад болванка из первого цеха, - из второго. По формуле полной вероятности Р(А)=Р(Н 1 )Р(А/Н 1 )+Р(Н 2 )Р(А/Н 2 ), где Р(Н 1 )=0,7 и Р(Н 2 )=0,3, а Р(А/Н 1 )=0,1 и Р(А/Н 2 )=0,2, получим Р(А)=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13.
Вероятность, что наудачу взятая бракованная болванка из первого цеха Р(Н1/А) найдем по формуле Байеса: Замечание : При составлении гипотез, которые поясняют все возможные ситуации для наступления интересующего нас события, нужно убедиться, что они совместны и образуют полную группу, т.е. и Ø,
