Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Пьер Симон Лаплас (1749-1827) Отношение числа событий, благоприятствующих появлению события А, к общему числу событий пространства, называют вероятностью события А и обозначают Р(А).
Р - от первой буквы французского слова probabilite – вероятность. m – количество благоприятных событий n – общее число событий пространства
Пример. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону? Решение № 1. Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) одна из монет упадет на «орла», другая на «решку». Из них благоприятными будут два исхода. Решение № 2. Опыт имеет четыре равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»; 4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла». Из них благоприятными будут два исхода.
Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами! Жан Лерон Даламбер (1717 -1783)
Вероятность достоверного события равна Вероятность невозможного события равна Вероятность события А не меньше, но не больше 1 0 0 1
P( U ) = 1 ( U – достоверное событие); P( V ) = 0 ( V – невозможное событие); 0 P(A) 1.
Задача 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 514 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчика в такой серии наблюдений? Решение. А – { Рождение мальчика } n – количество благоприятных событий m – общее количество событий
Пьер Симон Лаплас (1749-1827) Алекс а ндр фон Г у мбольдт (1769 - 1859 )
№ задания Испытание Число возможных исходов испытания ( n ) Событие А Число исходов, благоприятст - вующих событию ( m ) Вероят - ность события Р(А)= m / n 1 Подбрасывание игрального кубика Выпавшее число очков нечетно 2 Подбрасывание игрального кубика Выпавшее число очков кратно трем 3 Раскручивание стрелки рулетки, разделенной на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8 Остановка стрелки на секторе с номером, кратным 4 4 Игра в лотерею (1500 билетов, из которых 120 выигрышных) Выиграли, купив один билет 6 6 8 1500 3 2 2 120 Задача 2.
При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа? Задача 3.
1 2 3 4 5 6 1 11 21 31 41 51 61 2 12 22 32 42 52 62 3 13 23 33 43 53 63 4 14 24 34 44 54 64 5 15 25 35 45 55 65 6 16 26 36 46 56 66 Вероятность: P(A)=6/36 = = 1/6. Решение. Составим таблицу.
с т а к а т и с т и Практикум по решению задач. Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить ? Какие события равновероятные ? Задача 4.
В слове «статистика» всего 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P (С) = 2 / 10 = 1 / 5; буква «т» встречается 3 раза – P( Т) = 3 / 10; буква «а» встречается 2 раза – P( А) = 2 / 10 = 1 / 5; буква «и» встречается 2 раза – P( И) = 2 / 10 = 1 / 5; буква «к» встречается 1 раз – P( К) = 1 / 10.
В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой. Задача 5.
а) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 3. Вероятность равна: P=3:9=1/3 б) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 2. Вероятность равна P=2:9=2/9 в) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 7 (4+3). Вероятность равна P=7:9=7/9
На четырех карточках написаны буквы О, Л, Е, Т. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ЛЕТО»? Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Л, Е, Т); общее число исходов: Событие А - {после открытия карточек получится слово «ЛЕТО»}: Задача 6. л е о т
Задача 7. При стрельбе из винтовки вероятность попадания в цель равна 0,85. Найти вероятное число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Решение.
Использованные источники Я. Перельман. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома. - М, 2012. 2. Башмаков, М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И.Башмаков – 8-е изд., стер. - М.: Академия, 2013.-256 c. 3. Математика. 10-11 классы: элективный курс «В мире случайных закономерностей» / ав.-сост. В.Н. Студенецкая и др. – Волгоград: Учитель, 2007. – 126 с.
