Тригонометрия 10 класс
Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса ( Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.
Эти ученые внесли свой вклад в развитие тригонометрии Архимед Фалес Жозеф Луи Лагранж
Тригонометрия в озникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции, встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. Древнегреческие астрономы успешно решали вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией.
Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, при измерении расстояний до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, при контроле системы навигации, в теории музыки, акустике, оптике, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтике, химии, сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, архитектуре, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла
Вспомним: а в с Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось.
Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса и отложим от горизонтальной оси угол ( если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р. 1 Р
Радианная мера угла R С центральный угол R – радиус С – длина дуги Если R = C, то центральный угол равен о дному радиану Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности
Вариант 1 1. Представьте угол 740 о в виде ά ° + 360°n, где n – целое число, 0<ά<180 0. 2. Точка Р – конечная точка поворота на 50 о. Найдите наименьшее по модулю значение угла β, точки P 1, которая получается из точки Р симметрией относительно оси ординат. 3. Переведите угол 150 о из градусной меры в радианную. 4. Переведите угол 1,25π из радианной меры в градусную. 5. Допишите равенство... 0 = 6. Запишите формулу перехода от рад к градусам. 7. Запишите, как найти через стороны треугольника косинус угла ά. (рис) Вариант 2 Представьте угол –710 о в виде a° + 360° n, где n – целое число, 0<ά<180°. 2. Точка Р – конечная точка поворота на 50 о. Найдите наименьшее по модулю значение угла β, точки P 1, которая получается из точки Р симметрией относительно оси абсцисс. 3. Переведите угол 135 о из градусной меры в радианную. 4. Переведите угол 2,5π из радианной меры в градусную. 5. Допишите равенство … 0 = 6. Запишите формулу перехода от радиан к градусам. 7. Запишите, как найти через стороны треугольника синус угла ά.(рис)
Вариант 1 №1 740 0 =360 0 ·2+20 0 №2 130 0 №3 №4 225 0 №5 90 0 №6 ά рад = №7 Вариант 2 №1 -710 0 = 10 0 - 2·360 0 №2 -50 0 №3 №4 450 0 №5 45 0 №6 ά 0 = рад №7
х у 1 1
Синус угла определяется как ордината точки Косинус — абсцисса точки Тангенс – отношение ординаты к абсциссе т очки Котангенс – отношение абсциссы к ординате т очки
Понятие синуса встречается уже в III в. до н. э. и имел название джива ( тетева лука), в IX в. з аменено на арабское слово джайб (выпуклость), XII в. з аменено на латинское синус (изгиб, кривизна). Косинус – это дополнительный синус. Тангенс переводится с латинского как «касающийся»
В курсе геометрии вы познакомились с тангенсом острого угла, равным частному синуса и косинуса этого угла: tg φ = sin φ/ cos φ С помощью этого равенства можно определить тангенс любого угла φ, косинус которого отличен от нуля. Тангенсом угла назывется частное синуса к косинусу этого угла. Для углов, косинусы которых равны 0, т. е. углов вила π /2 + π n ( n – любое число), тангенс не существует.
На рисунке к единичной окружности в точке P 0 проведена касательная; P φ – конечная точка поворота на угол φ ; C – точка пересечения касательной и прямой OP φ. Ордината точки С равна тангенсу угла φ
или оба отрицательны.
Значит, их частное tg φ положительное. Точка С в этих случаях расположена в верхней полуплоскости и, следовательно, имеет положительную ординату. Если же точка P φ находится во II или в IV координатной четверти, то знаки sin φ и cos φ различны, следовательно, tg φ отрицателен. Точка С при этом находится в нижней полуплоскости и имеет отрицательную ординату.
1 1 -1 -1
Запомним ! 1 1
(1; 0) (0; 1) (-1; 0) (0;-1)
Проверим: - 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 - - - -
Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в координатных четвертях + + + + + + + + - - - - - - - -
Периодичность тригонометрических функций При изменении угла на целое число оборотов з начения синуса, косинуса, тангенса, котангенса н е изменяются
х у
5 4 3 2 Выстрели в мишень и дай оценку своей работе Я уверен(а), что сдам ЕГЭ… У меня получилось… Было трудно… Было интересно…
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1.Теория: стр. 108 – 109, 115 – 116 2. Контрольные вопросы и задания (1-3) на стр. 114
Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!
