Уравнения Максвелла и волновое уравнение. 1.1.
1. И.В.Савельев. Курс общей физики, т.2, и т.3. 2. Н.Н.Заичкин. Лекции по общему курсу физики. ч. VI. Оптика. 3. Сборник вопросов, упражнений и задач по дисциплине «Физика», Часть 3. (№2616 - 3). 4. Методическое пособие к решению задач по курсу физики в системе РИТМ. Часть 3. (№3126 - 3). 5. Н.И.Калитеевский. Волновая оптика. 6. А.Н.Матвеев. Оптика.
Уравнения Максвелла и волновое уравнение. 1.1.
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Рассмотрим однородную и изотропную, электрически нейтральную, непроводящую среду. Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла:
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Вычислим ротор от правой и левой части уравнения (1). В рассматриваемой среде ( ε = const., μ = const., = 0, = 0 ) эти уравнения можно переписать так: (1) (2) (3) (4)
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. После вычисления ротора от левой части уравнения (1) получаем: Согласно уравнению (4)
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. После вычисления ротора от правой и левой части уравнения (1) получаем: Согласно уравнению (3) Вычислим ротор от правой части уравнения (1).
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Сравним полученное уравнение с общим видом дифференциального волнового уравнения: где v – фазовая скорость распространения волны. Полученное нами уравнение для напряжённости электрического поля совпадает волновым уравнением, если Решениями волнового уравнения являются плоские волны вида
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Решениями волнового уравнения для вектора напряжённости электрического поля также являются плоские волны. В данном случае в пространстве распространяются колебания напряжённости электрического поля. Фазовая скорость распространения в пространстве таких колебаний: В вакууме, когда = 1 и = 1, (м/с).
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Вычислим ротор от правой и левой части уравнения (3). Аналогично можно вывести волновое уравнение, рассматривая напряжённость магнитного поля. В рассматриваемой среде ( ε = const., μ = const., = 0, = 0 ) : (1) (2) (3) (4) Выполним преобразования, как и в предыдущем случае, воспользуемся уравнением (2) и получим:
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Это уравнение можно переписать так: где - фазовая скорость волны. - решение волнового уравнения, уравнение плоской волны. Отметим, что решения одинаковы как для электрического поля, так и для магнитного. Колебания напряжённостей электрического и магнитного поле происходят одновременно и распространяются с одинаковой скоростью. Эти колебания совпадают по фазе. Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве, называются электромагнитными волнами.
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Фазовая скорость электромагнитной волны В вакууме, когда ε = 1 и μ = 1, В некоторой среде, когда ε > 1 и μ > 1, В оптике величина n называется показателем преломления. Физический смысл показателя преломления - он показывает, во сколько раз скорость света (ЭМВ) в данной среде меньше, чем в вакууме.
1.1. Уравнения Максвелла и волновое уравнение. Основные выводы: 1. Уравнения Максвелла допускают волновые решения. 2. Электромагнитная волна представляет собой колебания напряженностей электрического и магнитного полей, распространяющихся в пространстве. 3. Скорость распространения ЭМВ в вакууме 4. Скорость распространения ЭМВ в любой диэлектрической среде меньше, чем в вакууме: n – показатель преломления среды.
1.2.
1.2. Экспериментальное открытие электромагнитных волн. Схема опыта Герца. Генрих Рудольф Герц (1857 - 1894) Джеймс Кларк Максвелл (1831-1879)
Первые опыты с несветовыми ЭМВ были осуществлены в 1888 г. Генрихом Герцем с помощью вибратора, состоящего из двух стержней, разделенных искровым промежутком (вибратор Герца). Получил стоячую волну при отражение от проводящего экрана и измерил длину волны и вычислил скорость, обнаружил преломление, отражение и поляризацию ЭМВ.
1.3.
1.3. Поперечность ЭМВ. 1. Скорость распространения ЭМВ в вакууме 2. Скорость распространения ЭМВ в любой диэлектрической среде меньше, чем в вакууме: n – показатель преломления среды. Некоторые свойства ЭМВ мы уже отметили: Ещё одним важнейшим свойством ЭМВ является её поперечность.
1.3. Поперечность ЭМВ. Если плоская ЭМВ распространяется вдоль оси OX выбранной нами системы отсчёта, то её уравнение можно записать так: Здесь ω – циклическая (круговая) частота колебаний волны, k – волновое число. Известно, что волновые поверхности плоской волны - плоскости. Если волна распространяется вдоль оси OX, то её волновые поверхности есть плоскости, параллельные плоскости YZ (перпендикулярные OX).
1.3. Поперечность ЭМВ. ЭМВ распространяется вдоль оси OX, изменение векторов E и H описывается уравнениями Каждая из волновых поверхностей характеризуется одним значением координаты X. Поэтому в пределах одной волновой поверхности в данный момент времени значения вектора напряжённости одинаковы. Это справедливо и для вектора E и для вектора H. Значения всех трёх компонент вектора E и всех трёх компонент вектора H зависят только от координаты X и не зависят от координат Y и Z.
1.3. Поперечность ЭМВ. Рассмотрим уравнение, описывающее распространение ЭМВ: В левой части этого уравнения То же по компонентам:
1.3. Поперечность ЭМВ.
1.3. Поперечность ЭМВ. Величина E x, E y, E z зависит только от координаты x, поэтому
1.3. Поперечность ЭМВ. В направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны, производные по времен от H нулю не равны, следовательно, в этих направлениях может существовать переменное магнитное поле. В направлении, параллельном направлению распространения волны, может существовать только стационарное магнитное поле.
1.3. Поперечность ЭМВ. Если рассмотреть уравнение, описывающее распространение ЭМВ и, как и в предыдущем случае, переписать его в виде проекций на оси координат, и учесть, что все компоненты вектора H зависят только от координаты x, получим В направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны, может существовать переменное электрическое поле. В направлении, параллельном направлению распространения волны, может существовать только стационарное электрическое поле.
1.3. Поперечность ЭМВ. Таким образом, электромагнитная волна является волной поперечной.
1.4.
1.4. Поляризация ЭМВ. Если колебания вектора напряжённости электрического поля в волне каким-либо образом упорядочены, волна называется поляризованной. Если колебания вектора напряжённости электрического поля в волне происходят в одной плоскости, волна называется линейно поляризованной. Если плоскость, в которой происходят колебания вектора напряжённости электрического поля в волне вращается, волна называется поляризованной по кругу (по эллипсу).
1.5.
1.5. Соотношение между E и H в ЭМВ. Рассмотрим уравнение, описывающее распространение ЭМВ: В левой части этого уравнения
1.5. Соотношение между E и H в ЭМВ. Учтём, что вектор E зависит только от координаты x Рассмотрим уравнение, описывающее распространение ЭМВ: В левой части этого уравнения
1.5. Соотношение между E и H в ЭМВ. Учтём, что вектор H зависит только от координаты x Решениями волнового уравнения являются плоские волны (волна распространяется вдоль OX, векторы напряжённостей перпендикулярны)
1.5. Соотношение между E и H в ЭМВ. Как мы установили ранее, Подставим в это уравнение выражения для напряжённостей полей. Это соотношение должно выполняться в любой момент времени и в точке с любой координатой x.
1.5. Соотношение между E и H в ЭМВ. Волновое число k связано с циклической частотой ω соотношением
1.5. Соотношение между E и H в ЭМВ.
