Цель лекции: введение понятия соответствия элементов множеств.
Определение 1: Функция (отображение, оператор, преобразование) – математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами другого множества. Определение 2 альтернативное: Функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент другого множества.
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. ПРИМЕР: значение X определяет однозначно выражение y= (2 X). Это пример числовой функции.
Пусть даны два множества X и Y. ГОВОРЯТ, что на множестве X имеется функция (отображение) f со значениями из множества Y. ИЛИ функция f отображает множество X в множество Y. Обозначение функции Y=f (цвет) Термин отображение применяется для всех видов множеств. Термин функция – для числовых множеств.
Если хотят подчеркнуть, что правило f известно, то говорят, что на множестве X задана функция f, принимающая значения из Y. Y= F (x) Если f должна находится в результате решения уравнения, то говорят, что f неизвестная или неявная функция. F (x, y)=0
Функция y = f (x) представляет три объекта y, f, x - где X – множество, которое называют областью задания функции. Y – множество, которое называют областью значений функции. F – правило, по которому каждому элементу множества X, сопоставляется элемент множества Y.
Каждый элемент множества X называется независимой переменной или аргументом функции. Элемент y, соответствующий фиксированному значению x, называется частным значением функции в точке x. ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ОБОЗНАЧЕНИЕ
Две функции f и g равны, если совпадают их области задания и если для каждого x имеет место равенство: f (x) = g (x) ПРИМЕР: Пусть x – элемент числового множества. ВОПРОС – Равны ли функции F и G если: На этот вопрос нельзя ответить, так как не указаны области определения функций. Если область определения все действительные числа, то функции не равны. (Пусть x=2.) И пусть x={-1,0,+1 } ?????
Константа или постоянная. Взаимно однозначная. Функция нескольких аргументов. Числовая функция. Сужение функции. Суперпозиция или сложная функция.
Если область значений f состоит из одного элемента, то функцию f или отображение f называют постоянной. X Y f (x) x1 национальность человек Y=7
Если разным элементам множества X соответствуют разные элементы множества У, то отображение называют взаимно-однозначным. x y x Y= F (x) Иногда пользуются понятием обратного отображения или функции
Если множество X представляет собой декартово произведение множеств x1, x2 …. xn, тогда отображение где Y – множество вещественных чисел называют n – местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора x=(x1, x2,…, xn) называют аргументами N- местной функции, каждый из которых пробегает свое множество: Y=F(x1, x2,… xn)
f x y
Функция, областью значений которой являются числовое множество, называют числовой. Термин «функция» употребляют именно для числовых функций, а термин «отображение» для всех других. Особенностью числовых функций состоит в том, что в области их значений имеются математические операции. Это влечет за собой возможность вводить аналогичные операции для числовых функций. h (x) = f (x) + g (x)
Пусть имеются две функции f1 и f2 c областями определения в виде множеств X1 и X2. Пусть Тогда f1 называется сужением функции f2 x1 x2 F1(x) F2(x)
Пусть f – функция, определенная на множестве D, со значениями в множестве E, а F – функция определенная на, со значениями в множестве H. Тогда функция G, определенная на B включенным в D, таком что Называется сложной функцией или суперпозицией
Тогда функция G, определенная на B включенным в D, таком что G - функция, аргументом которой является функции
Аналитический. С помощью формулы и стандартных обозначений Графический. Табличный. С помощью таблицы значений Рекурсивный. Словесный. Игрек равно целая часть от икс. Реку́рсия — определение, описание, изображение какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя
В программировании рекурсией называют вызов подпрограммы
Элемент y = f (x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента x ( при отображении f ). Если выделить подмножество А в области задания функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества А, а именно подмножество области значений вида: Называют образом множества А
x А D E f (x) f (A) Если B, то Это множество называют прообразом множества В образ
Если отображение f : X – Y является взаимно однозначным, то существует отображение, у которого: Область задания (множество Y ) совпадает c областью отображения f. Область значений (множество X ) совпадает с областью задания отображения f. Отображение называют обратным по отношению к отображению f.
Пусть А и В подмножества области задания функции f : X---Y, тогда образы множеств А и В, при отображении f, обладают следующими свойствами: Свойства 4 и 5 допускают обобщение на любое количество множеств
Сюръективность. Инъективность. Биективность. Возрастание и убывание: неубывающая функция; невозрастающая функция; возрастающая функция; убывающая функция. Переодическая. Четная. Экстремум функции. монотонная строго монотонная
Сюръекция ( сюръективное отображение, от фр. sur — « на ») — отображение множества X на множество , при котором каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть любой существует
ПРИМЕР Отображение f c юръективно, для любого x, принадлежащего R + Отображение f не c юръективно, Так как не существует x, принадлежащего R чтобы f (x) = -9
Инъективность – означает такое отображение f множества X в множество Y, при котором разные элементы множества X соответствуют разным элементам множества Y.
Не инъективная функция так как:
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением Композиция инъекции и сюръекции порождающие биекцию
Пусть дана функция функция называется неубывающей на М , если
Пусть дана функция функция называется возраста́ющей на М, если
Пусть дана функция функция называется невозраста́ющей на М, если
Пусть дана функция функция называется убыва́ющей на М, если
