Лекция 4 ( 19. 09.201 2 ) Литература: 1. Физические тензоры и преобразования координат 2. Тензор проводимости и закон Ома 3. Преобразование координат группы O h 1. У. Харрисон, " Теория твердого тела ", Глава I. 4. Элементы континуальной теории упругости 3. Ландау и Лифшиц, том VII " Теория упругости ", Глава I (П 1, 2, 5). 2. А. Келли, Г. Гровс, “ Кристаллография и дефекты в кристаллах ”.
Физические тензоры и преобразования координат Тензор: 1. целостный математический объект; 2. получает численные компоненты при выборе системы координат (СК); 3. при изменении системы координат компоненты тензора преобразуются по общему тензорному закону. Тензор описывает некоторое свойство физического объекта, обычно настолько сложное, что требует нескольких числовых характеристик. Однако тензор не является матрицей, то есть простой совокупностью чисел. Тензор – целостный математический объект, компоненты которого подчиняются “закону сохранения тензора”. Назвав матрицу тензором, мы приписываем ей правило преобразования при смене СК. Точнее, не само правило, которое общее для всех тензоров, а способность сохранять физический смысл при таком преобразовании в “новой” СК. Это – важнейшее свойство всех тензоров.
Компоненты тензора получают численные значения только тогда, когда выбрана система координат. Однако систем координат может быть введено множество, а физическая величина, описываемая тензором – одна на всех. Если компоненты тензора вычислены в одной СК, то как определить их аналоги в другой? Тензорное исчисление дает на это изящный ответ: все компоненты тензора преобразуются по общему тензорному правилу, независимо от их физического смысла. Закон преобразования тензоров вытекает из закона преобразования системы координат. Как задать этот закон? Пусть имеется ортогональная СК, заданная тройкой базисных векторов ( е 1, е 2, е 3 ). Можно выразить каждый базисный вектор новой СК ( е 1 ', е 2 ', е 3 ' ) через базисные векторы старой СК как их линейную комбинацию :
α Из коэффициентов преобразования можно составить матрицу преобразования Тогда в более компактной форме или . Пример : Двумерный случай вращения системы координат на угол α. Матрица этого преобразования: или
Любой тензор характеризуется рангом (сложностью, информативностью) и мерностью (количеством измерений пространства, степенью свободы). Ранг тензора непосредственно связан с его смысловым содержанием, а мерность является следствием количества измерений СК (число базисных векторов). Число компонент тензора равно его мерности, возведенной в степень, равную его рангу. Преобразование компонент вектора при смене СК: Компоненты вектора x преобразуются так же, как векторы базиса e i. Скаляр (тензор 0-го ранга) – величина, которая не меняется при преобразованиях системы координат (масса, заряд, электростатический потенциал и т.д.)
Вектор (тензор 1-го ранга, размерность 3) – величина, определяемая в каждой системе координат тремя числами, причем при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются как координаты точки. Говорят, что компоненты тензора преобразуются как произведения индексов. Тензор n -го ранга (размерность 3) – физическая величина, характеризуемая элементами ( i 1,.., i n = 1,2,3), которые при преобразовании координат П преобразуются по закону:
В линейном приближении общий вид такой связи выглядит так Можно показать: Для того, чтобы две формулы описывали одну и ту же зависимость отклика от воздействия, необходимо и достаточно, чтобы свойство D преобразовывалось бы при преобразовании координат как компоненты тензора. При изменении системы координат эта зависимость записывается в виде: Такое определение оправдано общим видом большинства физических законов: где А – воздействие, D – свойство, независящее от воздействия, В – отклик.
Физические тензоры и симметрия направлений в кристаллах Любому точечному преобразованию в кристалле соответствует матрица, описывающая преобразование координат – Поворот C 4 вокруг оси z: (x,y,z)→ (y,–x,z) Примеры: - Инверсия относительно нуля (i) : (x,y,z) --> (-x,-y,-z) - Отражение в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x (σ x ): (x,y,z) --> (-x,y,z)
Совершим последовательно два точечных преобразования, описываемых матрицами преобразования координат Π 1 и Π 2. Произвольная точка с координатами r в результате этих преобразований будет иметь координаты r ' : Произведению преобразований симметрии соответствует произведение матриц преобразования координат. Другими словами преобразования симметрии и соответствующие им матрицы перемножаются по одной и той же таблице умножения: Группа преобразований точечной симметрии изоморфна группе соответствующих матриц преобразования координат. Группа матриц преобразования координат является представлением группы преобразований симметрии Симметрия направлений кристалла (кристаллический класс) определяет структуру тензоров, описывающих их свойства.
Пример : тензор проводимости и закон Ома Зависимость плотности тока в кристалле от приложенного электрического поля в линейном приближении в определенной системе координат будет иметь вид: или или еще короче: В тензорных выражениях суммирование по 3-м координатам подразумевается по всем совпадающим значкам. σ ik - тензор второго ранга, описывающий “свойство” кристалла – проводимость.
В новой системе координат: Согласно общему правилу, компоненты тензора для двух систем координат связаны как I ’ k ’ Вспомним Для тензора первого ранга (вектора) закон преобразования тензора совпадает с законом преобразования координат точки : Для тензора второго ранга закон преобразования тензора совпадает с законом преобразования произведения координат Аналогичное правило перемножения значков работает для тензоров произвольного ранга Так же как и (доказательство –обязательная домашняя задача)
Рассмотрим преобразование компонент тензора при простых точечных преобразованиях, приводящих к перестановке индексов и смене их знаков - Отражение в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x (σ x ): (x,y,z) --> (-x,y,z) правило преобразования тензора: Работает правило перемножения значков! Итак, если известен закон преобразования координат, соответствующий некоторой операции симметрии кристалла, правило перемножения значков позволяет легко определить закон преобразования компонент тензора
симметричная проекция, взгляд с вершины три оси C 4 и четыре С 3 x y z Группа осей куба О
- Инверсия ( i ) : (x,y,z) ->(-x,-y,-z) Симметрия кристалла накладывает ограничение на вид любого тензора, описывающего его свойства: если при преобразованиях симметрии направлений направления в кристалле переходят в эквивалентные, то и тензор, характеризующий свойства этого кристалла, не должен менять своего вида при этих преобразованиях симметрии, т. е. его компоненты не должны меняться.
Преобразования координат группы куба ( O h ) При определенном выборе системы координат (оси направлены вдоль ребер, а центр совпадает с центром инверсии) точечным преобразованиям группы O h соответствуют все перестановки координат с любыми изменениями знаков, например: (x,y,z)→ (–x,–y,–z) — инверсия, (x,y,z)→ (y,–x,z) – поворот C 4 вокруг оси z (x,y,z)→ (y,z,x) — поворот C 3, -------------------------------------------------------------- Всего 48 = 3!· 2 3, где 3! — число возможных перестановок, 2 3 — число возможных расстановок знаков. Возьмем преобразование, при котором координаты x и y меняются местами:(x,y,z)→ (y,x,z). При этом преобразовании σ xx →σ yy. Т. к. компоненты тензора кристалла класса O h не должны меняться при всех преобразованиях симметрии группы куба, то получаем что σ xx = σ yy. Аналогично доказывается, что σ xx = σ zz и σ yy = σ zz.
Рассмотрим другое преобразование группы куба: (x,y,z)→ (–x,y,z): σ xy →–σ xy. Отсюда следует, что σ xy = 0. Аналогично доказывается, что равны нулю все недиагональные компоненты тензора. Недиагональные компоненты любого тензора второго ранга, характеризующего свойства кристалла класса O h, равны нулю, а диагональные равны между собой, т. е. тензор превращается в скаляр. Закон Ома для кристалла группы O h имеет вид:
Элементы континуальной теории упругости (L&L, том 7, глава 1, п. 1-2) Под влиянием приложенных сил твердые тела деформируются, т.е. меняют форму и объем. Характер деформации зависит от величины силы: - область упругих деформаций - деформации обратимы, связь деформации и силы линейная (выполняется закон Гука); - область пластических деформаций - деформации необратимы, закон Гука не выполняется; - область разрушений - образец разъединяется на части. Теория упругости работает в области упругих деформаций и рассматривает твердые тела как сплошные среды " Одномерный " закон Гука: Упругая энергия: F - сила, - растяжение, k - коэффициент упругости
Тензор деформаций Задание вектора деформации как функции координат полностью определяет деформацию тела. Но этот же вектор описывает и смещение тела как целое. Поэтому деформацию в точке с координатами ( x 1,x 2,x 3 ) описывают как изменение расстояния между бесконечно близкими точками вблизи этой координаты. Пусть до деформации координаты некоторой точки были r с компонентами x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z, а после деформации стали r ' с копмонентами x i '. Смещение точки тела при деформации изобразится вектором u=r'-r - вектор деформации (или вектор смещения) Пусть до деформации это расстояние было Далее будем подразумевать суммирование по повторяющимся индексам в каждом сомножителе выражения. Тогда:
Тогда: после деформации: , где , где или Тензор деформации по определению симметричен - тензор деформации Теорема Любой симметричный тензор можно привести к главным осям, то есть выбрать систему координат, в которой тензор - диагонален.
Если тензор деформации в данной точке привести к главным осям, то вблизи этой точки элемент длины после деформации имеет вид: Деформацию в каждом элементе объема тела можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно-перпендикулярным направлениям - главным осям тензора деформаций Каждая из этих деформаций представляет собой простое растяжение (или сжатие) вдоль соответствующего направления. Например, длина dx 1 превращается в длину Величины представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей ε ( i) = ε ii - главные значения тензора
Случай малых деформаций С точностью до величин высшего порядка относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации равны главным значениям этого тензора тензор деформаций в пренебрежении членами второго порядка малости
Изменение объема при малых деформациях dV - элемент объема вблизи точки ( x 1,x 2,x 3 ). Вычислим объем этого элемента после деформирования dV', используя в качестве осей координат главные оси тензора деформации в этой точке. относительное изменение объема равно сумме диагональных компонент тензора деформации сумма диагональных компонент (след, шпур) тензора не зависит от системы координат Теорема
При деформировании в теле возникают силы, стремящиеся вернуть его в состояние равновесия. Эти силы называются внутренними напряжениями, которые описываются тензором 2-го ранга - тензором напряжений σ. Например, на единичную площадку, перпендикулярную к оси x, действуют нормальная к ней (направленная вдоль оси x ) сила σ xx и тангенциальные (направленные по осям y и z ) силы σ yx и σ zx. Компонента σ ik тензора напряжений есть i - я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярной к к -ой оси тензор напряжений симметричен ( см. L&L том 7, глава 1, п.2 ) Тензор напряжений
Равномерное всестороннее (гидростатическое) сжатие - на каждую точку поверхности тела действует одинаковое по величине давление, направленное везде по нормали к поверхности внутрь объема тела. Тангенциальных напряжений нет, все отличные от нуля компоненты равны давлению p : Всестороннее сжатие сопровождается изменением объема без изменения формы. Деформация сдвига - объем тела остается неизменным, меняется только его форма ( ε ii =0 ) Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия : сдвиг сжатие Простые деформации : изотропные твердые тела
Свободная энергия деформации изотропного твердого тела К - модуль всестороннего сжатия μ - модуль сдвига Закон Гука для изотропного твердого тела: обратная формула: Можно показать : Из компонент симметричного тензора можно составить два независимых скаляра второй степени Разложение удельной энергии (скаляра) с точностью до членов второго порядка по элементам тензора деформации можно представить в виде суммы квадратов компонент " сдвига " и " всестороннего сжатия "
Однородные деформации Деформации, при которых тензор деформации постоянен по всему объему тела. Примеры: - всестороннее сжатие - простое растяжение (или сжатие) стержня (стенки свободны) - одностороннее сжатие (стенки зафиксированы) Простое растяжение: Силы действуют равномерно на поверхности концов стержня (вдоль оси z), p - сила, действующая на единицу поверхности. , остальные элементы тензора напряжений равны нулю - относительное растяжение стержня вдоль z E - модуль растяжения (модуль Юнга), 1 /E - коэффициент растяжения относительное сжатие в поперечном направлении σ - коэффициент Пуассона
Для изотропного стержня:
Контрольные вопросы 1. Что такое физический тензор? 2. Что определяет ранг тензора ? 3. Что определяет мерность тензора ? 4. Как количество компонент тензора выражается через его ранг и мерность ? 5. Как при преобразовании системы координат меняется тензор нулевого ранга ? 6. Как при преобразовании системы координат меняется тензор первого ранга ? 7. Как при преобразовании системы координат меняется тензор произвольного ранга ? 8. Какова матрица, описывающая преобразование координат при операции инверсии относительно нуля ? 9. Какова матрица, описывающая преобразование координат при отражении в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x ? 10. Какова матрица, описывающая преобразование координат при повороте C 4 вокруг оси z ?
1 1. Ранг тензора проводимости ? Тензорный вид закона ома ? 1 2. Как меняются компоненты тензора при преобразовании системы координат, соответствующим элементу группы симметрии направлений кристалла? 1 3. Как меняются компоненты тензора второго ранга при преобразовании системы координат, соответствующим операции инверсии относительно нуля? 15. Сколько различных ненулевых компонент имеет тензор 2-го ранга, описывающий некоторое свойство кубического кристалла (группа O h ) ? 14. Какие преобразования координат соответствуют точечным преобразованиям группы Oh при определенном выборе системы координат (оси направлены вдоль ребер, а центр совпадает с центром инверсии) ? 16. Определение областей упругих деформаций, пластических деформаций и области разрушений. 17. Общее определение тензора деформаций 18. Определение тензора деформаций для случая малых деформаций
19. Какую физическую величину определяют главные значения тензора деформаций ? ( для случая малых деформаций ) 20. Как относительное изменение объема тела выражается через компоненты тензора деформации 21. Определение тензора напряжений 22. Какой вид имеет тензор напряжений для деформации всестороннего сжатия изотропного твердого тела ? 23. Как меняется объем тела при деформации чистого сдвига? 24. Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств изотропного твердого тела? 27. Что такое коэффициент Пуассона ? 25. Что такое однородная деформация? Примеры ? 26. Что такое модуль Юнга?
ЗАДАЧИ старые нерешенные 5. Проанализировать наличие эквивалентных плоскостей и осей в группах С n v, D n, T d ( два элемента симметрии эквивалентны, если в группе существует преобразование, переводящее их друг в друга) Лекция 2: 3. Сколько существует различных двумерных решеток Браве ? Перечислить. Обосновать. Лекция 3 : 4. Вычислить относительную долю пространства, заполненного сферами, в следующих структурах : а) простая кубическая структура; б) ОЦК структура; в) ГЦК структура:
ЗАДАЧИ новые 1.* Доказать правило перемножения значков для тензоров второго ранга
