Техническая механика – комплексная дисциплина, включающая в себя три раздела: «Теоретическая механика» «Сопротивление материалов» «Детали машин»
В разделе «Теоретическая механика» изучаются основные законы движения твердых тел и их взаимодействие. В разделе «Сопротивление материалов» изучают основы прочности материалов и методы расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при действии внешних сил. В разделе «Детали машин» рассматриваются основы конструирования и расчета деталей и сборочных единиц общего назначения.
Рекомендуемая литература 1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 2001 (2008). Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. Учебное пособие для вузов. Издание 3.- М.: Высш. шк., 2003. 2. Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий: учеб. пособие / В.П. Олофинская. – 3-е изд., испр. – М.:ФОРУМ, 2012. Ерохин М.Н. Детали машин и основы конструирования.- М.: « КолосС ».- 2004. Батурин А.Т. Детали машин. Учебник для машиностроительных техникумов. Издание 6-е стереотипное.- М.: «Машиностроение».- 1971. Березовский Ю.Н. Детали машин для техникумов.- М.: «Маш-ение».-1983. 3. Олофинская В.П. Детали машин. Краткий курс и тестовые задания: учеб. пособие / В.П. Олофинская. - 2-е изд., испр. и доп. – М.:ФОРУМ, 2010.
Механическим движением называется происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). За основную меру этих действий принимают величину, называемую силой. Основной задачей теоретической механики является изучение движения материальных тел под действием сил.
По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику разделяют на статику, кинематику и динамику. В статике излагается учение о силах и условиях равновесия материальных тел под действием сил. В кинематике – общие геометрические свойства движения тел. В динамике изучается движение материальных тел под действием сил. В классической механике все вводимые исходные положения и понятия являются научными моделями. ТМ, в отличие от физики, изучает з-ны движения абстрактных абсолютно твердых тел, здесь материалы, форма тел существенного значения не имеют. При движении абсолютно твердое тело не деформируется и не разрушается. В случае, когда размерами тела можно пренебречь, тела заменяют материальной точкой.
Основные абстрактные модели реальных тел: материальная точка – имеет массу, но не имеет размеров; абсолютно твёрдое тело – объём конечных размеров, заполненный веществом, причём расстояния между любыми двумя точками не изменяются во время движения; Из них – системы : - система свободных материальных точек; если при движении системы материальных точек расстояние между точками остаются постоянными, то такая система материальных точек называется неизменяемой системой ; - системы со связями; «Вырожденные» модели : - бесконечно тонкие стержни; - бесконечно тонкие пластины; - невесомые стержни и нити, связывающие между собой материальные точки, и т.д.
П оложение объекта относительно другого физического тела (например, Земл и ) определяется при помощи выбранной системы координат Система отсчета. C истема декартовых прямоугольных координат. Инерциальная система отсчёта – такая, собственное движение которой не может быть обнаружено никаким механическим опытом. Все системы отсчёта, движущиеся относительно исходной прямолинейно и равномерно, будут инерциальными. Это позволяет ввести единую декартовую систему координат. Условное соглашение – берут правую систему координат (рис. 1). Время – абсолютно, единое для всех систем отсчёта, то есть начальный момент – произволен. Состояние движения тел в момент времени t определяется координатами и скоростями точек в этот момент.
Статикой называется часть механики, где изучаются условия, которым должны удовлетворять силы, действующие на систему материальных точек, для того чтобы система находилась в равновесии. Сила – это мера механического взаимодействия материальных тел между собой, способного вызвать движение тел из состояния покоя или изменить существующее движение тел. Совокупность сил, приложенных к данному твердому телу, называется системой сил.
Система материальных точек находится в равновесии, если, будучи в покое, она не получает никакого движения от сил, на неё действующих. В этом случае система сил, приложенных к ней, называется уравновешивающей, а силы в системе взаимно уравновешенными. Две системы сил, приложенных к телу, называются эквивалентными, если они взаимозаменяемы без нарушения покоя тела или изменения его движения. Из повседневного опыта: силы имеют векторный характер, то есть величину ( модуль ), направление, линию действия, точку приложения. Условие равновесия сил, действующих на твёрдое тело, сводится к свойствам систем векторов. Если в характеристике величины направление не имеет значение, то эта величина называется скалярной (объем тела, температура).
Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, называемых аксиомами. Аксиомы, устанавливающие общие закономерности механического движения, созданы в результате обобщения человеческого опыта. Аксиома 1. Под действием уравновешивающей системы сил абсолютно твердое тело или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно. Аксиома 2. Две силы, приложенные к твёрдому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой. Аксиома 3. Действие на твёрдое тело системы сил не изменится, если добавить к этой системе или отбросить от неё две силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны и лежащие на одной прямой.
Следствие. Силу, действующую на точку твёрдого тела, можно переносить вдоль линии действия силы без изменения равновесия (то есть, сила является скользящим вектором, рис.2). Рис.2.
Аксиома 4. Действие на точку твёрдого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов (рис.4). Рис. 4. Следствие. Силы, приложенные к точке твердого тела, складываются по правилу параллелограмма.
Аксиома 5. Если деформируемое (не абсолютно твердое) тело, находящееся под действием сил в состоянии равновесия, станет абсолютно твердым (отвердеет), то его равновесие не нарушится ( принцип отвердевания ). Из этого закона следует, что условия, которым должны удовлетворять при равновесии силы, приложенные к абсолютно твердому телу, необходимо соблюдать и при равновесии тела деформируемого. Поэтому этот закон устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемых тел.
Действие одного тела на другое никогда не может быть односторонним: мы всегда наблюдаем взаимодействие материальных тел. Две категории сил : 1) Активные - создают или способны создать движение твёрдого тела. Например, сила тяжести. 2) Пассивные – не создающие движения, но ограничивающие перемещения твёрдого тела, препятствующие перемещениям. Например, сила натяжения нерастяжимой нити (рис.7). Рис.7.
Аксиома 6. Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое ( действие равно противодействию ). Например, Земля и Луна. Важно - действие и противодействие представляют собой две силы, приложенные к двум разным телам. Поэтому нельзя сказать, что эти две силы уравновешиваются. Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют другие тела, скрепленные или соприкасающиеся с ним, называются несвободными, или связанными. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называется связью. Силы, обусловленные связями и препятствующие перемещениям, называются силами реакций связи или реакцией связи. Направлена реакция связи всегда с той стороны, куда связь не дает перемещаться телу. Принцип освобождения от связей.
Аксиома 7. Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. Типы связей: 1. Связь – гладкая опора (без трения) – реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре. 2. Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) – подвешен груз. Реакция направлена вдоль нити от тела, нить растянута. 3. Жесткий стержень – стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня.
4. Шарнирная опора. Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров: - подвижный шарнир (опора А). Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки). Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности, т.к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности. Реакция опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры.
- неподвижный шарнир (опора В). Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Реакцию разлагают на составляющие и по направлению координатных осей. Реакция по модулю определится: Способ закрепления применяется для того, чтобы исключить возможные напряжения от действия температуры или изгиба.
5. Защемление, или «заделка». Любые перемещения точки крепления невозможны. Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивны й момент, препятствующий повороту.
1. Определение равнодействующей геометрическим способом А. Сложение сил. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся. Рис. 8. Следствие 2 и 3 аксиом. 4-я аксиома. Рис. 9. Плоская задача. Геометрическая сумма двух сил находится по правилу параллелограмма (рис. 9).
Объемная задача. Геометрическая сумма трех сил, не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 10). Рис. 10. Рис.11. При геом. способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) не изменится. Такой способ получения равнодействующей называется геометрическим. Т.обр., система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил и приложенную в точке пересечения их линий действия (рис. 11).
Б. Разложение сил. Способом разложения удобно пользоваться при определении сил давления тела на связи и реакции связей. А) разложение силы по двум заданным направлениям. В этом случае сила будет являться диагональю параллелограмм а, а стороны параллельны заданным направлениям (рис.9). Б) разложение силы по трем заданным направлениям. В этом случае, если заданные направления не лежат в одной плоскости, задача сводится к построению параллелепипед а, диагональю которого и будет являться изображением данной силы, а его ребра будут параллельны заданным направлениям. Рис. Рис.9. Рис.10.
Проекция силы на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Проекция положительна, если угол острый, - отрицательна, если угол тупой, - равна нулю, если сила перпендикулярна оси.
Объемная задача: Положение вектора силы определено при известном модуле силы и углах, которые сила образует с координатными осями. Для решения задач механики удобно задавать силу ее проекциями Fx, Fy, Fz на координатные оси. Модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, определятся по формулам: ; ; ;.
2. Определение равнодействующей аналитическим способом Аналитический способ сложения сил. Из аналитической геометрии: Проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Т.е., если, то =, =,. Зная находим: ; ; ; . С илы расположены в одной плоскости :
Равновесие системы сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенных из этих сил, был замкнутым. Т. Д совпадает с т. О. Рис.15.
Равновесие системы сходящихся сил. Аналитические условия равновесия. Аналитический модуль главного вектора:. Следовательно, =0, если ,,. В общем случае пространственной системы сходящихся сил: ,,. Т.е., для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. Для частного случая плоской системы сходящихся сил:
Момент силы относительно центра Под действием силы тело может совершать вращательное движение вокруг некоторой точки. Момент силы характеризует вращательный эффект. Центром момента называют точку, относительно которой берется момент. Момент относительно центра – момент относительно этой точки. В точке А к телу приложена сила. Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия силы, его длин а - плечо силы отн - но центра О. Момент силы относительно центра О определяется модулем момента, равным Fh ; положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскость поворота); направлением поворота в этой плоскости. Значит, момент силы – векторная величина. Рис.16
Моментом силы относительно центра О называется приложенный в центре О вектор, модуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости поворота в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки. Модуль момента силы:. Из рис. видно, что, где - радиус-вектор точки А, проведенный из точки О.
Свойства момента силы : - при переносе точки приложения силы вдоль линии ее действия момент силы относительно центра не изменяется; - момент силы относительно центра О равен нулю либо когда сила равна нулю, либо когда плечо силы равно нулю.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра. Рис.23.
Пространственная система сил. Момент силы. Рассмотрим момент силы относительно центра О в системе координат XYZ. Ось z проведем через центр О. Рис.28. Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Момент силы относительно оси будет иметь знак плюс, когда с положительного конца оси поворот, который стремится совершить сила, виден происходящим против хода часовой стрелки, и знак минус – по ходу часовой стрелки. Частные случаи вычисления моментов : 1. 2.
Теорема Вариньона для момента силы относительно оси. Если обе части равенства теоремы Вариньона для момента силы относительно центра: спроецировать на какую-нибудь ось z, получим: .
Система двух параллельных сил, равных по величине и направленных в противоположные стороны, называется парой сил (рис.17). Рис.17. . Плоскость действия пары сил - плоскость, проходящую через линии действия сил. П лечо пары сил – расстояние d между линиями действия сил пары. Тело под действием пары сил совершает вращательное движение, следовательно, можно говорить о моменте пары. Его характеризует: модуль, равный Fd ; положение плоскости действия пары; направление поворота пары в этой плоскости. Т.о., момент пары сил – векторная величина.
Момент пары численно равен произведению модуля силы на плечо пары Fd. Момент считается положительным, если пара вращает тело против хода часовой стрелки. Свойства пар сил : 1. Эквивалентность пар: Две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны (оказывают на тело одинаковое механическое действие).
.
Теорема Пуансо о параллельном переносе силы: Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила. Рис.21. На тело в точке А действует сила, прикладываем в точке В две уравновешенные силы = и = -. Система трех сил представляет собой силу и пару сил с моментом.
Из теоремы вытекает теорема о приведении системы сил к данному центру : Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом, равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис.22). Рис.22.
Следствие (условие эквивалентности систем сил): две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны. Д ля равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т.е. .
Рассмотрим, каким образом плоская система сил приводится к простейшему виду. Любую систему сил при приведении к центру О можно заменить одной силой, равной главному вектору системы, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы относительно центра О. Знак вектора можно опустить. 1.. В этом случае система приводится к паре с моментом Мо. Значение Мо не зависит от выбора центра О. Вращение. 2. Мо=0. Система приводится к равнодействующей, проходящей через центр О. Прямолинейное движение. Рис.26.
Рассмотрим равновесие плоской системы сил. Для равновесия системы сил должны соблюдаться равенства: и. А налитические условия равновесия для плоской системы сил: . Условия равновесия : для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Из равенства вытекают также следующие формы условий равновесия плоской системы сил :
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно : 1. Ч тобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось О x, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:. Рис.27. 2. Ч тобы суммы моментов всех сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю: .
Случай параллельных сил. Если направить ось Ох перпендикулярно силам, а ось Oy параллельно им, то условия равновесия системы параллельных сил значительно упростятся. В этом случае остаются только два условия равновесия: . Другая форма условия равновесия имеет вид: .
Главный вектор и главный момент пространственной системы сил. Значения главного вектора и главного момента системы сил определяются равенствами: . Проекции главного вектора на оси x, y, z : . Проекции главного момента : .
Равновесие произвольной пространственной системы сил Условия равновесия любой системы сил: Но векторы и равны нулю тогда, когда проекции главного вектора и главного момента на оси x, y, z равны нулю: ; , или Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю. Если на тело кроме сил действует еще пара, заданная ее моментом :
1. Виды нагрузок и разновидности опор По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной ; если распределена по площадке или линии – распределенной.
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой.
Балка – прямой брус, закрепленный на опорах и изгибаемый приложенными к нему силами. Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной. Жесткая заделка (защемление).
2. При изучении трения твердых тел, кроме коэффициента трения, важную роль играет угол трения. Пусть твердое тело, находящееся в равновесии, опирается на неподвижную поверхность и пусть есть реакция связи и равнодействующая нормальной реакции и перпендикулярной ей силы трения. Рис.33. Полная реакция будет отклонена от нормали на некоторый угол. Очевидно, что при изменении силы трения от нуля до сила изменяется от до, а ее угол с нормалью растет от нуля до предельного значения. Его наибольшее значение называется углом трения. или.
Сила трения меняется от нуля до некоторого предельного значения, называемого трением покоя (статическая сила трения): 0 <, В момент достижения силой трения предельной величины возникает предельное равновесие. При равновесии тела полная реакция находится внутри угла трения. При предельном равновесии реакция отклоняется от нормали на угол. Это означает, что если к телу приложить силу под углом к нормали, равным или меньшем, то тело не сможет совершать движение. Геометрическое место прямых линий, проведенных из точки касания поверхностей А под углом к нормали опорной поверхности в точке А, образует коническую поверхность, которая называется конусом трения. Может быть не круглым. Полная реакция не может лежать вне конуса трения.
3. Сила трения при движении меньше силы трения покоя. Сила трения при движении называется динамической силой трения ( F ): или. Поскольку сила нормального давления, зависящая от веса и положения опорной поверхности, не меняется, то различают статический ( f 0 ) и динамический ( f ) коэффициенты трения.
Трение качения. Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому. Рис.36. Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R. Р – вес катка; – приложенная к оси катка сила, меньше или равна F пр. – сила трения, численно равная Q и препятствующая скольжению цилиндра; – нормальная реакция, уравновешивающая силу.
На практике касание тел происходит по некоторой площадке АВ (рис. Б) При действии силы интенсивность давления у края площадки А убывает, а у края В возрастает. Реакция оказывается смещенной в сторону действия силы. При увеличении растет смещение k сил; в предельном положении катка (перед началом движения) на каток будут действовать две уравновешивающие друг друга пары сил: и с моментом и с моментом. Из равенства моментов: или. Из рис.36,б видно, что смещение - плечо пары, линейная величина, измеряется в см. Называется коэффициентом трения качения. Зависит от материала соприкасающихся тел и является опытной величиной. Отношение k \ R для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения. Например, при движении стали по стали ; к = 0,005 см. Поэтому в технике скольжение заменяют качением.
Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения Земли, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли. Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными. Для определения точки приложения силы тяжести (равнодействующей параллельных сил) применим теорему Вариньона о моменте равнодействующей: Момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов относительно любой точки.
Для плоских фигур справедливо выражение: V=Ah, где А – площадь фигуры; h – ее высота. Подставляем в формулы, получим:
