Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Метод последовательных приближений Пикара Метод Эйлера. Понятие явных и неявных методов. Неявный метод Эйлера Метод Эйлера-Коши. Понятие о методах “предиктор-корректор” Метод Рунге-Кутта Методы Адамса Краевые задачи для ОДУ второго порядка Задача Коши для систем ОДУ Системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Анализ характерных временных масштабов на основе собственных чисел. Жесткие системы
Литература Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы. –М.: Физматлит, 2004. - 400 с. Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с. Киреев В.И., Пантелеев А.В., Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. М. Высшая школа, 2006 г., - 460 с.
Задача Коши для дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка: ДУ, разрешенное относительно производной: Решение ДУ на интервале I – непрерывно дифференцируемая функция y = φ ( x ), превращающая уравнение в тождество на интервале I : или Интегральная кривая – график решения ДУ y = φ ( x ) Задача Коши (начальная задача) – задача о нахождении решения ДУ (2), удовлетворяющего начальному условию: (1) (2) Если функция f определена и непрерывна в некоторой замкнутой области G и имеет в этой области ограниченную частную производную по y то существует и притом только одно решение задачи Коши с начальным условием во внутренних точках x 0 области G.
Задача Коши в виде эквивалентного интегрального уравнения Переписываем ДУ: Интегрируем от x 0 до x : Получаем интегральное уравнение: Проверка: Задача Коши:
Метод последовательных приближений Пикара Интегральное уравнение, эквивалентное задаче Коши: Нулевое приближение: Первое приближение – подставляем нулевое приближение в (1) Второе приближение – подставляем первое приближение в (1) и так далее Ищем приближенное аналитическое решение задачи Коши Оценка погрешности k -го приближения: Т.о. имеем последовательность аналитических функций, сходящуюся к решению при (1)
Сеточные методы решения задачи Коши Решение ищется в узлах сетки : Шаг сетки ( шаг интегрирования ): Равномерная ( регулярная ) сетка : Неравномерная ( нерегулярная ) сетка : Решение находится в виде последовательности значений, являющихся приближением значений точного решения в узлах сетки n Сеточное представление известной функции φ ( x ) называется проекцией φ ( x ) на сетку n Явный метод : Неявный метод : Одношаговый метод : Многошаговый метод :
Ошибки сеточных методов Локальная ошибка численного метода решения ОДУ – ошибка на одном шаге сетки: Глобальная ошибка численного метода решения ОДУ – ошибка, накапливающаяся к последнему шагу сетки, сумма всех локальных ошибок: Порядок точности ( точность ) численного метода решения ОДУ - число p такое, что глобальная ошибка связана с шагом сетки соотношением: Часто используемая на практике характеристика точности метода:
Источники глобальной ошибки Методические ошибки - ошибки метода (например, ошибки численной аппроксимации производных) Переходные ошибки – ошибки, связанные с неточностью значений, полученных на предыдущих шагах Ошибки округления
x 0 x 1 x 2 x n -1 x n y x 0 ŷ 0 =y 0 ŷ 1 ŷ 2 ŷ n -1 ŷ n h ε 1 ( h ) ε n– 1 ( h ) ε n ( h ) y=y ( x,x 0,y 0 ) y=y ( x,x 1,ŷ 1 ) y=y ( x,x n– 1,ŷ n– 1 ) Локальная и глобальная ошибки
Устойчивость и сходимость сеточных методов Устойчивость численного метода - непрерывная зависимость численных результатов от входных данных и ограниченность погрешности при заданных пределах изменения параметров метода (шагов сетки, числа итераций и др.). Сходимость численного метода - стремление численных результатов к точному решению, при стремлении параметров метода к определенным предельным значениям, например, шага сетки к 0 или количества итераций к бесконечности.
Метод Эйлера Метод Эйлера – метод ломаных x 0 x 1 x 2 x 3 x y y 3 y 2 y 1 y 0 L 0 L 3 L 1 L 2
Пример. Явный метод Эйлера
Пример. Явный метод Эйлера
Пример. Неявный метод Эйлера
Пример. Неявный метод Эйлера
Метод Эйлера - Коши Численное интегрирование методом трапеций Интегрирование задачи Коши Реализация метода Локальная ошибка O ( h 3 ), глобальная ошибка O ( h 2 ) Шаг - “ предиктор ” Шаг - “ корректор ” Можно применить итерационную обработку
Метод Эйлера - Коши – графическая интерпретация Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы. – М.: Физматлит, 2004, с. 157 0 y x h
Пример. Уравнение релаксационного типа (жесткая задача)
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности Интегрирование задачи Коши Численное интегрирование методом Симпсона Вводим промежуточную точку: Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы. – М.: Физматлит, 2004, с. 160
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности Формула Симпсона для шага h / 2 Наиболее употребительный вариант аппроксимации неявных значений - симметричный Неявные выражения Значения неизвестны - можно аппроксимировать разными способами
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности Сводка формул для реализации метода
Метод Рунге-Кутта – графическая интерпретация Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы. – М.: Физматлит, 2004, с. 161 0 y x
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для нормальных систем ОДУ Задача Коши для нормальной системы ОДУ второго порядка Приращения для и на каждом этапе вычисляются одновременно
Реализация метода Рунге-Кутта для нормальных систем
Методы Адамса – многошаговые методы k- шаговый метод Адамса - явный метод - неявный метод интегрирование задачи Коши Подинтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом, построенным по точкам Явный метод– экстраполяционный, неявный - интерполяционный
Простейший явный метод Адамса Линейная экстраполяция f как функции x
Простейший явный метод Адамса Линейная экстраполяция f как функции x Расчетная формула метода на равномерной сетке с шагом h
Простейший неявный метод Адамса Линейная интерполяция f как функции x
Простейший неявный метод Адамса Локальная ошибка O ( h 3 ), глобальная ошибка O ( h 2 ) Линейная интерполяция f как функции x Расчетная формула метода на сетке с шагом h совпадает с формулой метода Эйлера-Коши
Выбор шага численного интегрирования задач Коши При численном решении задач Коши для ОДУ и систем ОДУ шаг численного решения можно выбирать априорно и апостериорно. В обоих случаях первоначальное значение шага h задается. При априорном выборе шага расчет ведется с первоначально выбранным шагом h с получением функции и с шагом h/ 2 с получением функции Затем в точках более грубой сетки анализируется неравенство Если оно выполнено, то решение с шагом h/ 2 принимается за истинное. Иначе расчет повторяется с шагом h/ 4 : после чего по норме сравниваются решения на сетках с шагами h/ 2 и h/ 4 и т.д. до тех пор пока неравенство не будет выполнено для двух последовательных решений
Выбор шага численного интегрирования задач Коши При апостериорном выборе шага последний изменяется в процессе счета на основе получаемой информации о поведении решения и на основе заданной точности ε. Пусть h — первоначально выбранный шаг. Выбранным методом на отрезке, решается задача Коши с шагом h с получением значения. Тем же методом с шагом h /2 решается задача Коши с получением и. Анализируется неравенство Если данное неравенство удовлетворяется, то значение шага численного интегрирования на следующем шаге увеличивается вдвое по сравнению с первоначально выбранным шагом, т.е. становится равным 2 h, алгоритм повторяется начиная с п.1 Если приведенное выше неравенство не выполняется, то счет ведется с шагом h /4 начиная с отрезка и после получения значения анализируется неравенство Если оно удовлетворяется, то дальнейший счет ведется с шагом h /2 и т.д.
Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения численного решения задачи Коши Метод p - го порядка на сетке с шагом h Главный член погрешности Повторно решаем Задачу Коши на сетке с шагом h /2 Решение на сетке с шагом h /2 Апостериорная оценка погрешности (в узлах сетки с шагом h ) Метод ( p + 1) - го порядка (в узлах сетки с шагом h ) Численное решение задачи Коши на сетке с шагом h Процесс уточнения с применением последней формулы можно применять и дальше, проводя расчеты с шагами h/ 4, h/ 8 и т.д., пока не выполнится условие:
