VaR можно перевести как стоимость (портфеля), которой рискует инвестор Дисперсия не может рассматриваться как подходящий показатель измерения риска портфеля, т.к. не учитывает возможную скошенность в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным VaR – это показатель, оценивающий риск портфеля (рыночный риск) VaR позволяет количественно оценить ожидаемые потери в стоимости портфеля в "нормальных условиях" функционирования рынка
VaR – это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. VaR также говорит о том, что потери в стоимости портфеля в течение этого периода времени будут меньше данной величины с определенной вероятностью. Доверительную вероятность можно определить как показатель, говорящий о том, какое количество раз из каждых 100 раз потери в стоимости портфеля не превысят данного уровня. Уровень доверительной вероятности задается заранее и зависит от характера компании, владеющей портфелем, и от субъективного подхода управляющего портфелем к этому вопросу. Обычно он равен 95% или 99%.
При расчете VaR для некоторого временного интервала предполагается, что состав портфеля за этот период остается неизменным. В противном случае необходимо пересчитывать и значение VaR, т. к. новые активы, включаемые в портфель, изменяют и его риск
Наиболее распространенный период, для которого рассчитывается VaR, – один день, т.е. 24 часа. Однодневный VaR обозначают как DEaR (Daily Earning at Risk). Базельский банк международных расчетов рекомендует банкам рассчитывать 10-дневный VaR с доверительной вероятностью 99% для определения минимального уровня собственных средств. Чем больше период времени, для которого рассчитывается VaR, тем больше будет и его величина, т.к. на более длительном отрезке времени возрастает и вероятность более крупных потерь
Абсолютный VaR можно определить как максимальную сумму денег, которую может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Относительный VaR отличается от абсолютного тем, что он рассчитывается относительно ожидаемой доходности портфеля. Его значение учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму равную абсолютному VaR, но и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности портфеля за рассматриваемый период. Если ожидаемая доходность портфеля равна нулю, то значения абсолютного и относительного VaR совпадают
параметрические модели (аналитическими или дисперсионно-ковариационными) непараметрические модели
Модель называется параметрической, если нам известна функция распределения случайной величины и параметры ее распределения. В параметрической модели VaR предполагается, что доходность финансовых активов следует определенному виду вероятностного распределения, обычно нормального. Для заданного уровня доверительной вероятности VaR портфеля рассчитывают по формуле:
Для заданного уровня доверительной вероятности VaR портфеля рассчитывают по формуле: - стоимость портфеля - риск портфеля (стандартное отклонение доходности портфеля) - квантиль уровня α нормального распределения
V – матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге; V T – транспонированная матрица-столбец значений VaR по каждой бумаге, т.е. матрица-строка; ρ – корреляционная матрица размерности n х n ( n – число активов в портфеле).
Поскольку корреляции могут изменяться со временем, то наряду с показателем диверсифицированного VaR целесообразно рассчитывать и не диверсифицированный VaR. VaR с учетом корреляций между активами портфеля называют диверсифицированным. Если определить VaR без учета корреляций, то получим не диверсифицированный VaR. Он представляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля и покажет максимум возможных потерь (при нормальных условиях рынка) для данного уровня доверительной вероятности в случае неустойчивости корреляций или ошибки их оценок
Для расчета однодневного VaR при данных за год матрицу ковариаций, составленную из годичных значений, необходимо перевести в матрицу с однодневными значениями. Данную матрицу удобно сразу скорректировать в соответствии с заданным уровнем доверительной вероятности. Тогда годичную матрицу ковариаций следует умножить на коэффициент:
Пусть стандартные отклонения и уд. веса первого и второго активов соответственно равны σ 1, θ 1 и σ 2, θ 2, стоимость портфеля составляет Р. Тогда VaR портфеля для уровня доверительной вероятности α равен : и ли или
Если коэффициент корреляции между доходностями активов равен единице Тогда VaR портфеля для уровня доверительной вероятности α равен : и ли В случае полной положительной корреляции между активами VaR портфеля является суммой индивидуальных VaR входящих в него активов.
Пусть VaR портфеля для доверительной вероятности z 1 равен : для доверительной вероятности z 2 : Выразим значение Р из первой формулы и подставим во вторую формулу:
Пусть VaR портфеля для периода t 1 равен : для периода t 2 : Выразим значение P σ z из первой формулы и подставим во вторую: Таким образом, зная величину VaR 1 для периода времени t 1, легко получить VaR 2 для периода времени t 2.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25 %. В году 250 торговых дней. В предположении, что на основании данных за прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,1% рассчитать относительный VaR.
Так как необходимо определить однодневный VаR, то вначале рассчитаем стандартное отклонение доходности акции для одного дня По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. VaR портфеля равен
Таким образом, в течение следующих 24 часов максимальные потери в стоимости портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95% могут составить 260,7 тыс. руб. В течение следующих 24 часов вероятность потерять сумму денег меньше 260,7 тыс. руб. равна 95%, а сумму больше 260,7 тыс. руб. – 5%.
Т.к. за прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,1%, то от 10 млн. руб. это составляет 10 тыс. руб. Тогда относительный VaR равен:
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй – 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%, второй – 1,9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8.
Определяем стандартное отклонение доходности портфеля : По таблице нормального распределения (функция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. Определяем VaR портфеля
Определим в примере 2 абсолютный VaR для первой акции : Абсолютный VaR для второй акции равен : Абсолютный VaR портфеля составляет:
Российский инвестор купил акции компании А на 147,059 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции составляет 1,58%. Курс доллара 1долл.=68 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,6%, коэффициент корреляции между курсом доллара и ценой акции компании А равен 0,2. Определить VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95%.
Текущий курс доллара равен 68 руб., поэтому рублевый эквивалент позиции инвестора составляет: 147,059 тыс.дол.∙68руб.=10 млн.руб. Это означает, что в настоящий момент инвестор рискует суммой в 10 млн. руб., и данный риск обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании А и падением курса доллара. Реализация любого из данных рисков приведет к падению стоимости портфеля ниже суммы в 10 млн. руб.
Т.к. цена акций компании А и валютный курс имеют корреляцию существенно меньшую чем плюс один, то общий риск портфеля уменьшается за счет эффекта диверсификации. Поэтому дисперсия доходности портфеля равна: Стандартное отклонение доходности составляет : Однодневный VaR портфеля равен:
Курс доллара составляет 1долл.=68 руб., курс евро – 1евро=74 руб. Банк купил на спотовом рынке 147,059 тыс. долл. и осуществил короткую продажу 135,135 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет 0,6%, евро – 0,65 %, коэффициент корреляции равен 0,85. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%.
Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвертировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет: 147,059 тыс.дол.∙68руб.=10 млн.руб. Позиция по евро в рублях: 135,135 тыс.дол.∙74руб.=10 млн.руб. Поскольку банк продал евро, то для дальнейших расчетов его позицию следует записать со знаком минус, т.е. –10млн.руб.
VaR по долларовой позиции равен : VaR по евро равен : VaR портфеля составляет :
VaR портфеля рассчитывается на основе выборочных данных за определенный период времени. В результате возникает необходимость оценить доверительный интервал для полученного значения VaR По данным статистики мы определяем не истинное, а "исправленное" стандартное отклонение. В связи с этим, прежде всего, следует найти доверительный интервал для стандартного отклонения доходности портфеля.
Доходность портфеля имеет нормальное распределение. Наилучшей оценкой дисперсии нормального распределения является "исправленная" дисперсия:
Разделим обе части равенства на истинную дисперсию σ 2 случайной величины Величина имеет распределение хи-квадрат ( χ ² ) с n -1 степенями свободы.
Необходимо найти границы интервала, который бы с вероятностью γ накрывал истинное значение дисперсии случайной величины
Значения конечных точек доверительного интервала обычно выбирают таким образом, чтобы вероятности событий χ ² < χ 1 ² и χ ² > χ 2 ² были одинаковыми. Пусть эта вероятность равна α. Тогда
По таблице квантилей распределения χ ² находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала дисперсии случайной величины. Квадратные корни из данных значений представляют собой нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала стандартного отклонения. Если в качестве случайной величины выступает доходность портфеля, то найденные значения сигм показывают доверительные границы стандартного отклонения доходности портфеля.
На основе полученных данных рассчитаем доверительный интервал для VaR портфеля по формулам
В примере 2 был получен однодневный VaR портфеля из двух акций в 267,3 тыс. руб. Пусть данный результат был получен на основе данных по доходности акций за 101 день. Требуется определить доверительный интервал для VaR с доверительной вероятностью γ = 0,95.
Из соотношения γ = 1 – 2 α находим значение α, соответствующее доверительной вероятности 95 %: Количество наблюдений случайной величины составило n = 101 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно n – 1 = 100. По таблице квантилей распределения χ ² находим квантили χ ² 1- α и χ ² α со степенями свободы 100: χ ² 0,975 =129,56 ; χ ² 0,025 =74,22.
Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии равна: для стандартного отклонения Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна : для стандартного отклонения
Находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля : Таким образом, с доверительной вероятностью 95% можно быть уверенным, что действительное значение VaR лежит в границах от 237,6 тыс. руб. до 310,2 тыс. руб.
Показатель средних ожидаемых потерь (expected shortfall) показывает величину средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR. Показатель средних ожидаемых потерь представляет собой условное математическое ожидание потерь при условии, что их величина оказалась больше значения VaR.
Условная вероятность наступления события В при условии, что произошло событие A, равна:
Для непрерывной случайной величины X, характеризующей убытки и доходы портфеля, можно записать:
Для уровня доверительной вероятности γ интеграл в знаменателе равен
Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение со средним значением равным нулю и стандартным отклонением σ. Тогда ее плотность вероятности принимает вид : Тогда средние ожидаемые потери равны
При условии
Противоположным понятием по отношению к VaR является EaR (Earnings at Risk). EaR показывает, какую максимальную сумму дохода может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Если доходность портфеля имеет нормальное распределение, и ее среднее значение равно нулю, то показатель EaR будет равен показателю VaR по абсолютной величине.
Пусть стоимость портфеля инвестора составляет 100 млн. руб., EaR для одного дня равен 2 млн. руб. с доверительной вероятностью 95%. Данную информацию можно интерпретировать следующим образом: вероятность того, что в течение следующих 24 часов доход инвестора составит меньше 2 млн. руб. равна 95%, вероятность того, что в течение следующих 24 часов его доход превысит 2 млн. руб. равна 5%, инвестор вправе ожидать, что в среднем его доход в течение 95 дней из каждых 100 дней не превысит 2 млн. руб., или что он окажется больше 2 млн. руб. в течение 5 дней из каждых 100 дней.
При выборе портфеля можно руководствоваться показателем, который определяется как отношение EaR к VaR. Чем больше значение этого коэффициента для данного уровня доверительной вероятности, тем предпочтительнее портфель, поскольку он предлагает большие возможные выигрыши в сравнении с потерями. Он также может служить мерой оценки скошенности потенциальных результатов доходности портфеля для данного уровня доверительной вероятности
