Практикум №8 по решению стереометрических задач
Конус в заданиях ЕГЭ
Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5 Задача №6 Задача №7 Задача № 8 Задача № 9 Задача № 10 Задача № 11 Задача № 12 Задача № 13 Задача № 14 Задача № 15 Задача № 16 Задача № 17 Задача № 18 Задача № 19 Задача № 20 Задача № 21 Задача № 22 Задача № 23 Задача № 24 Задача № 25 Задача № 26 Задача № 27 Задача № 28 Задача № 29 Задача № 30 Задача № 31 Задача № 32 Задачи для самостоятельного решения
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого? Решение. Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S= π rl. Значит S1= π ·3·9= 27 π, S2= π ·6·9= 54 π. Тогда S2 : S1 = 54 π : 27 π = 2
Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия. Высоты конусов относятся как 1:3, поэтому их объемы относятся как 1:27. Следовательно, объем отсекаемого конуса равен 135 : 33 = 5.
Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Решение. Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия k. Так как высоты конусов относятся как 1:2, то k равно одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен 32 : 2 ³ = 4.
Объём конуса равен 50 π а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. Найдём радиус основания конуса по формуле: V=1/3 · π R²h Откуда R²=3V: π h => R²= 150 π : 6 π = 25. Тогда R =5
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза? Объем конуса вычисляется по формуле V=1/3 ·Soc.·h. Значит, если высоту увеличить в 3 раза, то и объём увеличится в 3 раза
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза? Объем конуса вычисляется по формуле V=1/3·Soc.·h = 1/3 · π R²·h. Значит, если радиус основания увеличить в 1,5 раза, то и объём конуса увеличится в 2,25 раза
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S= π R·L, где L -образующая. Значит если увеличить L в 3 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже увеличится в 3 раза.
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней? Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S= π R·L. Значит, если радиус основания уменьшится в 1,5 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже уменьшится в 1,5 раза.
Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса. По теореме Пифагора
Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса. По теореме Пифагора…. Ответ: 6.
Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса. По теореме Пифагора…. Ответ: 4.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.
Пусть х — высота налитой жидкости, у — радиус окружности в основании конуса. Тогда 2 х — высота сосуда, 2 у — радиус окружности в основании сосуда (так как поверхность жидкости отсекает от конического сосуда конус подобный данному). Найдем отношения объёмов конусов, Таким образом, объём сосуда в 8 раз больше объёма налитой жидкости: 1600 : 8 = 200
Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса. Найдём радиус основания конуса из формулы: V=1/3· π R²h Откуда R²=3V: π h =>
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Найдём площадь боковой поверхности первого конуса: S1= π ·R1·L1 = π ·2·4=8 π 2) Найдём площадь боковой поверхности второго конуса: S 2 = π ·R 2 ·L 2 = π · 6 · 8 = 4 8 π 3) Найдём отношение площадей этих конусов: S 2 : S1 = 48 π : 8 π = 6
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S б.п. = 2 π R·h, но R=h следовательно S б.п. = 2 π R² и =3√2 => π R² =1,5√2 2) Площадь боковой поверхности конуса равна S= π R·L, Но L² = R²+h², но R=h => L² = 2 R² => L = R√2. Значит S б.п. = π R·L = π R· R√2 = π R²·√ 2 = = 1,5√2 ·√ 2 = 3
Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого —это диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Но L² = R²+h² => h = √100-36=√64=8 Следовательно, площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.
Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Но L² = R²+h² => R= √100-64=√36=6 Следовательно, диаметр осевого сечения конуса равен 12, а площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.
Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью
Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.
Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, высота которого совпадает с высотой конуса, а основание является диаметром основания конуса. Поэтому площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр его основания или произведению высоты конуса на радиус основания R. Поскольку по условию π R²=16 π, то радиус основания конуса равен 4, а тогда искомая площадь осевого сечения равна 24.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса. Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса. Формулу для объёма шара: V=4/3 · π R³, а формула объёма конуса: V=1/3 · π R³. Значит объём конуса в 4 раза меньше объёма шара. Тогда объём конуса равен 28 : 4 = 7
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.
Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. Найдем образующую по теореме Пифагора: L= √h²+R²=√16+9=√25=5 Площадь полной поверхности конуса
Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса равна
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π. Треугольник АВС – так же равнобедренный, т.к. углы при основании АВ равны 45 °. Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на π :
Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на вычисляется следующим образом:
Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 °. В ответе укажите V/ π. 30 °
Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в 30 ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора: R=√2²-1=√3
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π. Радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD : r=√2/2·AB=2√2 Тогда объем конуса, деленный на π :
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π. Объем данной части конуса равен
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π. Объем данной части конуса равен
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π. Объем данной части конуса равен
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π. Объем данной части конуса равен
Задачи для самостоятельного решения
Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Ответ:1 Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:2 Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Объём конуса равен 9 π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. Ответ:3 Объём конуса равен 25 π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. Ответ:5
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза? 2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 24 раза? 3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 10 раз?
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 40 раз? 2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 22 раза? 3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 31 раз?
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз? Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз? Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 1,5 раза?
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а образующая останется прежней? 2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а образующая останется прежней? 3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а образующая останется прежней?
Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса. Ответ: 17 2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса. Ответ: 13 3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса. Ответ: 10
Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса. Ответ:108 2) Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса. 3) Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса.
Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса. Ответ: 72 2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса. Ответ: 72 3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса. Ответ: 5
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 364 2) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 280 3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4 высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:
Площадь основания конуса равна 36π, высота —10. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60 2)
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем конуса. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем конуса.
Радиус основания конуса равен 12, высота равна 16. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. 2) Радиус основания конуса равен 28, высота равна 21. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. 3) Радиус основания конуса равен 15, высота равна 36. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π.
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 6 Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на π. 2) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 120. Найдите его объем, деленный на π. 3) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 60. Найдите его объем, деленный на π.
Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π. 2) Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π. 3) Диаметр основания конуса равен 36, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
Найдите объем конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 °. В ответе укажите V/ π. Ответ: 10 648 Найдите объем конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30 °. В ответе укажите V/ π. Найдите объем конуса, образующая которого равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 30 °. В ответе укажите V/ π.
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π. Ответ:19,5 Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12. Найдите его объем, деленный на π. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9. Найдите его объем, деленный на π.
1) Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π.
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π.
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π.
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π.
Шаблон п одготовила учитель русского языка и литературы Тихонова Надежда Андреевна «Решу ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Режим доступа: http://mathb.reshuege.ru http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg Автор и источник заимствования неизвестен http://belmathematics.by/images/teorija/konys3.jpg http://900igr.net/datai/geometrija/Konus-geometrija/0001-001-G-11-urok-1.png http://www.k6-geometric-shapes.com/image-files/3d-t3-cone.jpg http://900igr.net/datai/geometrija/Osnovy-stereometrii/0040-033-Obem-konusa.png https://im1-tub-ru.yandex.net/i?id=72aa47f9b7dce12424f069f72b9a3c2a&n=33&h=215&w=158
