Определение конической поверхности. Понятие конуса и его элементов. Площадь поверхности конуса. Понятие усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Сечение конуса плоскостями ( осевое, круговое ). Решение задач 2
ЦИЛИНДР КОНУС ШАР УСЕЧЕННЫЙ КОНУС ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Латинское слово « conus » заимствовано из греческого языка ( konos - втулка, сосновая шишка)…
Круговым конусом
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Образующая конуса – отрезок соединяющий вершину конуса с границей основания
Круговой конус называется прямым, если его высота попадает в центр круга, и перпендикулярна плоскости основания.
Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса. Эта прямая так и называется – осью конуса.
Если через вершину конуса провести плоскость, пересекающую основание, то в сечении получится равнобедренный треугольник.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым. В основании осевого сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. ( Угол при вершине конуса ). Сечения конуса.
Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг. Сечения конуса.
Развертка конуса – это круговой сектор. Радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса.
Найдем выражение для градусной меры угла развертки конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (конической поверхности). 16 Развертка конуса. 2 α 1) S бок = l π 360 2) S бок = π rl
S бок.кон. = π Rl Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. 18 S полн =S бок +S осн S бок = π RL S осн = π R 2 S полн = π RL+ π R 2 S полн = π R(L+R)
Зная угол, образованный высотой и образующей конуса, можно вычислить угол сектора, полученного при развертке конуса, и наоборот.
называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса. Усеченным конусом
Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.
Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.
Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
26 S п = π ( Rl + rl + R 2 + r 2 )
Решение задач 27
Дано: полукруг радиусом R = 8. Найти: Н, β ( угол между образующей и основанием.) Задача.
Дано: h=SO=15 см, r= ОА=8см. Найти: AS. Решение: S O A B По условию SO=h=15 см, r=OA=8 см, тогда из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: AS= = = =17 см Ответ: 17см.
Дано: АО=ОВ=5см, ∟ A РВ = 90°. Найти: Решение: Р А В О Ответ: 25
Дано: РО= h, ∟APO=60°, AP _|_ PB, PB – образующая. Найти: Решение: 1) АР=2 h, (PO- катет, лежащий против угла в 30° ) ; 2) АР=РВ=2 h – как образующие конуса; 3) Ответ: 2 60° h P 30° O B A
Дано: АВС – развертка конуса, ∟АВС= α, h=4 см, r=3 см. Найдите: α. Решение: АВО – прямоугольный, АВ= Ответ: 216 В А С О h r
В С А D O O1 В 1 C1 Дано: усеченный конус, ВО=3см, АО1=6см, ОО1=4см. Найти: l = АВ=С D. Решение: Рассмотрим осевое сечение пирамиды АВСВ ВС=2ОВ=6см; AD=2OA=12 см, т.к. трапеция равнобедренная, то АВ1=С1 D =( AD - DC):2=3 см; CD= =5 см, т.е. образующая конуса l = АВ =CD=5 см. Ответ : 5см.
Дано: усеченный конус, ВО= r, АО1= R, ∟ BAD=45°. Найти: Решение: Т.к. прямоугольный, Ответ: А В С D O O 1 В1 С1
Дано: конус, _ |_ A1O1, O1 ВО, ВО1=О1О. Найти: Решение : Ответ: 60. А А1 В С1 С О1 О
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Используя условие и готовые чертежи оформите решение предложенных задач. 49
Чему равен угол между образующей и основанием конуса, если известен угол между высотой и образующей. ? 65 0 Задача 1.
Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса? 8 ? Задача 2.
Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса. 8 ? Задача 3.
Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус основания конуса и образующая. ? 30 Задача 4.
Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая. 36 ? Задача 5.
Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции. ? Задача 6.
Конус получен при вращении прямоугольного треугольника S = 14. Радиус основания конуса равен 4. Определите высоту этого конуса. ? 7 Задача 7.
Через середину высоты конуса провели плоскость, перпендикулярную оси, и получили круг R = 5. Чему равна площадь основания конуса? ? 100 π Задача 8.
Пусть конус будет получен от вращения прямоугольного треугольника с известными катетами. Найдите боковую поверхность этого конуса. ? 20 π Задача 9.
Учебник Геометрия / Атанасян / гл.6 §1 ( п.53 - 54), §2 (п.55 – 57 ). Написать конспект с выполненными чертежами. Выучить определения всех основных понятий данного занятия. Все разобранные задачи в конспект. Решить прилагаемые задачи. 59
