7 класс
Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны Первый признак А В С А₁ В₁ С₁
Так как угол А = углу А₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁ Поскольку АВ = А₁В₁, АС=А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС – со стороной А₁С₁ А В С А₁ В₁ С₁
В частности, совместятся точки В и В₁, С и С₁ Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники АВС и АВС полностью совместятся, значит, они равны Теорема доказана. А В С А₁ В₁ С₁
Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак С В₁ А В А₁ С₁
Рассмотрим ∆АВС и ∆А₁В₁С₁, у которых АВ=А₁В₁, угол А= углу А1, угол В = углу В1. Докажем, что ∆АВС= ∆А₁В₁С₁. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁, так, чтобы вершина А совместилась с вершиною А₁, сторона АВ совместилась с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁. А В А₁ С₁ В₁ С
Так как угол А= углу А₁ и угол В = углу В₁, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС- на луч В₁С₁. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче В₁С₁ и, следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей - вершиной С. Значит совместятся стороны АС и А₁С₁, АС и В₁С₁. Теорема доказана. А В А₁ С₁ В₁ С
Теорема: Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак С В₁ А В А₁ С₁
Приложим ∆АВС к ∆А₁В₁С₁ так, чтобы вершины А совместилась с А₁, В с В₁, а С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Так как АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники А₁С₁С и В₁С₁С – равнобедренные. Следовательно, угол 1 = 2, а угол 3 = 4 Поэтому угол АСВ = А₁С₁В₁. Итак, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, угол С = углу С₁ Треугольники АВС И АВС равны по первому признаку равенства Теорема доказана С В₁ А В А₁ С₁ А₁ ( А ) B ₁ (B) С С₁ 1 2 3 4
Дано: АВС D – квадрат Докажите, что ∆АВ D = ∆ BCD D А B C
Дано: AB = AC, угол АСЕ = углу ABD Доказать : ∆АСЕ = ∆ ABD D А B C E
Дано: Отрезки B Е и AC точкой D делятся пополам. Доказать : угол AED = углу CBD D А B C E
