Теория Задачи Метод площадей
Теорема 1. Если треугольники имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой, то площади треугольников пропорциональны длинам их оснований : h Доказательство:
Теорема 2. Если треугольники имеют общую сторону, то их площади пропорциональны длинам отрезков, высекаемых продолжением их общей стороны на прямой, соединяющей их вершины: Доказательство:
Теорема 3. Если основания треугольников совпадают, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию, то площади треугольников – одинаковы. (Обратная) Если площади треугольников АВС и АВ D равны, то прямые АС и В D параллельны. Доказательство: Прямая BD параллельна прямой АС.
Теорема 4. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, содержащих этот угол. Доказательство:
Теорема 5. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Доказательство: Углы треугольников равны, поэтому по предыдущей теореме получаем
В треугольнике АВС проведены медианы, М – точка их пересечения. Найти площадь треугольника АВМ, если площадь исходного треугольника равна 9. Решение:
Диагонали разделили четырехугольник на треугольники, площади трех из которых равны 10, 15 и 24. Найти площадь четвертого треугольника. Решение:
А В С N P M 12 18 10 5 24 ? ? В треугольнике АВС проведены чевианы, которые пересекаются в одной точке и высекают на стороне АВ отрезки 5 и 10, а на стороне АС отрезки 12 и 18. Найти длины отрезков, высекаемых на стороне ВС, если ее длина 24. Решение: Ответ: ВМ=6, МС=18. К
В трапеции проведены обе диагонали. Ее основания относятся как 2:3. Площадь всей трапеции равна 75. Найти площади ее кусочков. Решение: Δ АО D подобен Δ СОВ с коэффициентом 2:3. Следовательно, 2) Площади треугольников ABD и ACD одинаковы, треугольник AOD – их общая часть, поэтому площади треугольников АОВ и С OD равны. 3) Используем отношение площадей: Тогда Таким образом,
Площадь параллелограмма ABCD равна 10. Найти площадь четырехугольника MNPQ. Решение: 1) Найдем площадь треугольника ВКС: 2) Найдем площадь треугольника BPL : 3) Аналогично, площади треугольников ABN, ADM и CQD равны 2. 4) Тогда
