www.themegallery.com Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 1 Признаки сходимости знакоположительных рядов Определение. Ряд a 1 + a 2 + a 3 + … + a n +…= все члены которого неотрицательные ( a k 0 k N ) называется знакоположительным. Теорема 6. ( Критерий сходимости знакоположительного ряда ) Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и дос-таточно, чтобы М < +, n S n М.
www.themegallery.com Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 2 Достаточные признаки сходимости Теорема 7. ( Признак сравнения ) Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами и выполнено условие n a n b n. Тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А расходимость ряда В. Теорема 8. ( Предельный признак сравнения ) Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами. Пусть существует и 0 < K < + . Тогда ряды A и B сходятся или расходятся одновременно.
www.themegallery.com Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 3 Достаточные признаки сходимости Теорема 9. ( Признак Даламбера ) Пусть для знакоположительного ряда существует предел. Тогда если D < 1, то ряд сходится; если D > 1, то ряд расходится; если D = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака. Теорема 10. ( Радикальный признак Коши ) Пусть для знакоположи-тельного ряда существует. Тогда если с < 1, то ряд сходится; если с > 1, то ряд расходится; если с = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака.
www.themegallery.com Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 4 Достаточные признаки сходимости Рассмотрим ряд вида, то есть слагаемые этого ряда имеют вид a k = f ( k ), k = 1, 2, 3... Теорема 11. ( Интегральный признак Коши ) Если функция f ( x ) неотрицательна и монотонно убывает на промежутке [ 1; ), то для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл.
www.themegallery.com Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 5 Знакочередующиеся ряды Пусть имеется последовательность чисел { b 1, b 2, b 3, …, b n, …}, такая, что n b n > 0. Рассмотрим ряд b 1 - b 2 + b 3 - … (-1) n -1 b n +… =. (7) Определение. Ряд (7) называется знакочередующимся если его положительные и отрицательные члены строго чередуются. Теорема 12. ( Признак Лейбница, сходимости знакочередующихся рядов ) Если члены знакочередующегося ряда (7) удовлетворяют условиям: ( или: 1) монотонно убывают по абсолютной величине; 2), ) то ряд (7) сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена ряда.
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 6 Спасибо за внимание
