Если многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину многогранника; в) иметь общий отрезок – ребро многогранника; г) иметь общий многоугольник – грань многогранника. Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от данной плоскости, то общ ая часть многогранника и плоскости называе тся сечением многогранника плоскостью. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
Сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечением призмы. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечением пирамиды. Диагональные сечения Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основанием усеченной пирамиды.
Какой фигурой может быть сечение многогранника плоскостью? Упражнение 1 Ответ: Многоугольником или объединением нескольких многоугольников.
Сколько диагональных сечений имеет n -угольная: а) призма; б) пирамида? Упражнение 2 Ответ: а) ; б).
Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) треугольник ? Упражнение 3 Ответ: а) Да; б) правильный треугольник ? в) равнобедренный треугольник ? г) прямоугольный треугольник ? д) тупоугольный треугольник ? в) да; г) нет; д) нет. б) да;
Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) квадрат; б) прямоугольник; в) параллелограмм; г) ромб; д) трапеция; е) прямоугольная трапеция? Упражнение 4 Ответ: а) Да; б) да; в) да; е) нет. г) да; д) да;
Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) пятиугольник; б) правильный пятиугольник? Упражнение 5 б) нет. У пятиугольников, которые получаются в сечении куба, имеются две пары параллельных сторон, а у правильного пятиугольника таких сторон нет. Ответ: а) Да;
Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) шестиугольник; б) правильный шестиугольник; в) многоугольник с числом сторон больше шести? Упражнение 6 Ответ: а) Да; в) нет. б) да;
Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться : а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник ? Упражнение 7 Ответ: а) да; б) да. Пусть ABCD – единичный тетраэдр. Точка E на ребре AD отстоит от вершины A на расстояние ¼. Точка F на ребре AB отстоит от вершины A на расстояние x. Найдем x, для которого угол CEF будет прямым. По теореме косинусов находим CE 2 = 13/16, CF 2 = x 2 + 1 – x, EF 2 = 1/16 + x 2 – x /4. Используя теорему Пифагора находим x = 1/6. в) да. Если точку G на ребре AB взять между A и F, то угол CEF будет тупой.
Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат? Упражнение 8 Ответ: Да. Если сечение проходит через середины ребер.
Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке ? Упражнение 9 Ответ: Нет.
Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью? Упражнение 10 Ответ: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник.
Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник; д) семиугольник; е) восьмиугольник? Упражнение 11 Ответ: а) Нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) нет.
При построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей. Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’ Если даны три точки A, B, C плоскости и известны их проекции A’, B’, C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей. Построение сечений
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B, Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба и вершину B. Соединим отрезками точки E и B, F и B. Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно. Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением. Упражнение 1
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD. Обозначим Q точку пересечения прямых PG и AB. Соединим точки E и Q, F и G. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба. Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением. Упражнение 2
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и DC. Соединим точки E и Q, G и S. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба. Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением. Обозначим S точку пересечения FR c СС 1. Упражнение 3
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD. Проведем прямую RF и обозна - чим S, T её точки пересечения с CC 1 и DD 1. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и CD. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба. Соединим точки E и Q, G и S, U и F. Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A 1 D 1. Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением. Упражнение 4
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, принадлежащие граням BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, соответственно. Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’, FF’, GG’ на плоскость грани ABCD, и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью. IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой IH с AB и BC. Проведем прямые PG и QE и обозначим R, S их точки пересечения с AA 1 и CC 1. Проведем прямые SU, UV и RV, параллельные PR, PQ и QS. Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением. Упражнение 5
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD. Решение. Проведем прямые FG и EH, параллельные BD. Проведем прямую FP, параллельную EG, и соединим точки P и G. Соединим точки E и G, F и H. Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением. Упражнение 6
Постройте сечение двух кубов плоскостью, проходящей через точки K, L, M, лежащие на ребрах куба. Решение. Сначала построим сечение верхнего куба. Это будет шестиугольник LNMPKQ. Продолжим MN, PK и QL. Соответствующие точки обозначим R, S и U, V. Проведем прямые RX и VY, параллельные UV и SR, соответственно. Искомое сечение состоит из двух шестиугольников LNMPKQ и RSUVYX. Упражнение 7
Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Решение. Соединим точки E и F. Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC 1 обозначим H. Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A 1 C 1 обозначим I. Соединим точки I и G. Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением. Упражнение 8
Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC 1 и AC. Проведем прямую IF и ее точку пересечения с AB обозначим K. Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B 1 C 1 обозначим L. Соединим точки E и K, G и L. Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением. Упражнение 9
Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, параллельной AC 1, проходящей через точки D и D 1. Упражнение 1 0 Решение. Через точку D проведем прямую параллельную AC 1 и обозначим E ее точку пересечения с прямой BC 1. Эта точка будет принадлежать плоскости грани ADD 1 A 1. Проведем прямую DE и обозначим F ее точку пересечения с ребром BC. Соединим отрезком точки F и D. Через точку D проведем прямую параллельную прямой FD и обозначим G точку ее пересечения с ребром A 1 C 1, H – точку ее пересечения с прямой A 1 B 1. Проведем прямую DH и обозначим P ее точку пересечения с ребром AA 1. Соединим отрезком точки P и G. Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением.
Построить сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E на ребре BC, F на грани ABB 1 A 1 и G на грани ACC 1 A 1. Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC. Проведем прямую EH, и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB. Проведем прямые PG и IF, и обозначим S, R и Q их точки пересечения с A 1 C 1, A 1 B 1 и BB 1. Соединим точки E и Q, S и R. Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением. Упражнение 1 1
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, D 1. Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E 1. Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE. Проведем прямые KD 1, LE 1 и найдем их точки пересечения P, Q с прямыми CC 1 и FF 1. Шестиугольник ABPD 1 E 1 Q будет искомым сечением. Упражнение 1 2
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’. Решение. Проведем отрезки AB’ и AF’. Через точку B’ проведем прямую, параллельную AF’, и ее точку пересечения с EE 1 обозначим E’. Через точку F’ проведем прямую, параллельную AB’, и ее точку пересечения с CC 1 обозначим C’. Через точки E’ и C’ проведем прямые, параллельные AB’ и AF’, и их точки пересечения с D 1 E 1 и C 1 D 1 обозначим D’, D”. Соединим точки B’, C’ ; D’, D” ; F’, E’. Полученный семиугольник AB’C’D”D’E’F’ будет искомым сечением. Упражнение 1 3
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки F’, B’, D’. Решение. Проведем прямые F’B’ и F’D’, и найдем их точки пересечения P и Q с плоскостью ABC. Проведем прямую PQ. Обозначим R точку пересечения PQ и FC. Точку пересечения F’R и CC 1 обозначим C’. Соединим точки B’, C’ и C’, D’. Через точку F’ проведем прямые, параллельные C’D’ и B’C’, и их точки пересечения с AA 1 и EE 1 обозначим A’ и E’. Соединим точки A’, B’ и E’, D’. Полученный шестиугольник A’B’C’D’E’F’ будет искомым сечением. Упражнение 1 4
Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E, F. Решение. Соединим точки E и F. Через точку F проведем прямую FG, параллельную AD. Соединим точки G и E. Полученный треугольник EFG будет искомым сечением. Упражнение 1 5
Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру CD и проходящей через точки E, F. Решение. Через точки E и F проведем прямые EG и FH, параллельные CD. Соединим точки G и F, E и H. Полученный четырехугольник EGFH будет искомым сечением. Упражнение 1 6
Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD. Обозначим Q точку пересечения прямых PG и CD. Соединим точки F и Q, E и G. Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением. Упражнение 17
Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки A, E, F. Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим G её точку пересечения с DB. Проведем прямые AG и CB. Обозначим P их точку пересечения. Проведем прямую PF и обозначим Q её точку пересечения с SC. Соединим точки A и F, A и E, E и Q. Полученный четырехугольник AFQE будет искомым сечением. Упражнение 18
Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую FG и обозначим P её точку пересечения с SB. Проведем прямую PE и обозначим Q её точку пересечения с AB. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Полученный пятиугольник ETFGQ будет искомым сечением. Соединим точки T и F. Проведем прямую GQ и обозначим R её точку пересечения с AD. Проведем прямую RE и обозначим T её точку пересечения с SD. Упражнение 19
Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E, F. Решение. Соединим точки E и F. Через точку F проведем прямую, параллельную AS, и обозначим G ее точку пересечения с AC. Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD. Через точку H проведем прямую, параллельную AS, и обозначим I ее точку пересечения с SD. Соединим точки I и F. Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением. Упражнение 2 0
Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E, F. Решение. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC. Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF. Через точку P проведем прямую GH, параллельную BD. Соединим точки F, G, E, H. Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением. Упражнение 2 1
Решение. Найдем точку пересечения P прямой A 1 C 1 с плоскостью основания. Найдем точку Q пересечения прямой E 1 C 1 с плоскостью основания. Проведем прямую ED и обозначим R, её точку пересечения с прямой PQ. Прямая PQ будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания. Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A 1, C 1, E 1. Аналогичным образом находятся точки F 1 и B 1. Проведем прямую E 1 R и обозначим D 1 её точку пересечения с SD. Шестиугольник A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 будет искомым сечением. Упражнение 2 2
