Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.
Иногда основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, не попадает на участок плоскости, изображенный на рисунке. В этом случае можно воспользоваться тем, что расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости, до этой плоскости. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости равно также расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых – данная плоскость, а другая проходит через данную точку. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой плоскости на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BCC 1. Ответ: 1. Куб 1
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CDD 1. Ответ: 1. Куб 2
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C 1. Ответ: 1. Куб 3
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BB 1 D 1. Ответ: Куб 4
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BC D 1. Ответ: Куб 5
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости CDA 1. Ответ: Куб 6
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BDA 1. Ответ: Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1. Обозначим O - центр грани ABCD, E - точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1. Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем AA 1 = 1; AO = ; OA 1 =. Следовательно, AE = Куб 7
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости CB 1 D 1. Ответ: Решение: Плоскость CB 1 D 1 параллельна плоскости BDA 1, и отстоит от вершины C 1 на расстояние (см. предыдущую задачу). Учитывая, что длина диагонали куба равна, получим, что искомое расстояние AF равно. Куб 8
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости, проходящей через вершины C, A 1 и середину ребра BB 1. Куб 9 Ответ: Решение: Сечением куба данной плоскостью является ромб CEA 1 F. Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ACA 1. AA 1 = 1, AC =, CA 1 =. Следовательно, AH =.
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BC 1 D. Ответ: Решение: Обозначим O и O 1 – центры граней куба. Прямая AO 1 параллельна плоскости BC 1 D и, следовательно, расстояние от точки A до плоскости BC 1 D равно расстоянию от точки O 1 до этой плоскости, т.е. высоте O 1 E треугольника OO 1 C 1. Имеем OO 1 = 1; O 1 C = ; OC 1 =. Следовательно, O 1 E = Куб 10
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BA 1 C 1. Ответ: Решение: Прямая AC параллельна плоскости BA 1 C 1. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от центра O грани ABCD куба до плоскости BA 1 C 1. Из предыдущей задачи следует, что это расстояние равно Куб 1 1
В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости, проходящей через вершины C, B 1 и середину ребра DD 1. Куб 1 2 Ответ: 1. Решение: Сечением куба данной плоскостью является равнобедренная трапеция CEFB 1. Плоскость ABC 1 перпендикулярна плоскости CEF. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника APQ. Имеем AP =, AQ =, PQ =. Следовательно, высота AH равна высоте PG треугольника APQ и равна 1.
В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние от вершины D до плоскости ABC. Ответ: Решение. Обозначим E середину BC. Искомое расстояние равно высоте DH треугольника ADE, для которого DE = , HE =. Следовательно, DH = Пирамида 1
Основанием треугольной пирамиде SABC является прямоугольный треугольник с катетами, равными 1. Боковые ребра пирамиды равны 1. Найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Решение. Из равенства боковых ребер следует, что основанием перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC, является центр окружности, описанной около треугольника ABC, т.е. середина D стороны AC. Треугольник ACS – прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, искомый перпендикуляр SD равен Ответ: Пирамида 2
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SO треугольника SAC, в котором SA = SC = 1, AC = Следовательно, SO = Пирамида 3
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBC. Ответ: Решение. Обозначим E, F – середины ребер AD, BC. Искомое расстояние равно высоте EH треугольника SEF, в котором SE = SF =, EF = 1. Откуда, EH = Пирамида 4
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBD. Ответ: Пирамида 5
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SO равностороннего треугольника SAD. Оно равно Пирамида 6
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBE. Ответ: Пирамида 7
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SCE. Ответ: Решение. Обозначим G точку пересечения AD и CE. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAG, в котором SA = 2, SG =, AG =, SO = Откуда AH = Пирамида 8
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBF. Пирамида 9 Ответ: Решение. Обозначим G точку пересечения AD и BF. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAG, в котором SA = 2, SG =, AG =, SO = Откуда AH =
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBC. Ответ: Решение. Пусть O – центр основания, G – середина ребра BC. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SOG, в котором SO =, OG =, SG = Откуда OH = Пирамида 10
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SCD. Ответ: Решение. Пусть P, Q – середины ребер AF, CD. Искомое расстояние равно высоте PH треугольника SPQ, в котором PQ = SO =, SP = SQ =. Откуда PH = Пирамида 11
В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBD. Ответ: Решение. Пусть P, Q – середины отрезков AE, BD. Искомое расстояние равно высоте PH треугольника SPQ, в котором PQ = 1, SP = SQ =, SO = Откуда PH = Пирамида 12
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C 1. Ответ: 1. Призма 1
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью BB 1 C 1. Ответ: Призма 2
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и п лоскостью BCA 1. Ответ: Решение: Через точки A 1 и D – середину ребра BC, проведем прямую. Искомым расстоянием будет расстояние AE от точки A до этой прямой. В прямоугольном треугольнике ADA 1 имеем, AA 1 = 1, AD =, DA 1 =. Следовательно, AE = Призма 3
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C. Ответ: Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1. Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно Призма 4
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 C 1 B. Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от точки A до плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи. Ответ: Призма 5
В треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все ребра равны 1, углы A 1 AB и A 1 AC равны 60 о. Найдите расстояние от вершины C 1 до плоскости A 1 B 1 C. Решение. Пирамида A 1 BB 1 C 1 C – правильная с вершиной A 1, в основании которой квадрат. Следовательно, основанием перпендикуляра, опущенного из вершины C 1 на плоскость A 1 B 1 C, является середина D отрезка B 1 C. Длина этого перпендикуляра равна Ответ: Призма 6
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 C 1. Ответ: 1. Призма 7
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости DEE 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE. Она равна. Ответ:. Призма 8
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CDD 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AC. Она равна. Ответ:. Призма 9
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BCC 1. Ответ: Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G. Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна Призма 10
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BDD 1. Ответ: 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AB. Она равна 1. Призма 11
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BEE 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания. Треугольник ABO – равносторонний. Искомое расстояние равно высоте AH этого треугольника. Она равна Призма 12
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BFF 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания, H – точка пересечения AO и BF. Тогда AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 14
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости CEE 1. Ответ: Решение: Проведем диагональ AD. Обозначим H – ее точку пересечения с CE. AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 15
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости CFF 1. Ответ: Решение: Проведем отрезок AE. Обозначим H – его точку пересечения с C А. AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 16
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BA 1 E 1. Ответ: Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH, опущенного из точки A на прямую A 1 B. Оно равно Призма 17
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 D. Ответ:. Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH, опущенного из точки A на прямую A 1 E. Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1. Имеем AA 1 = 1, AE =, A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна. Призма 18
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 C. Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника AGA 1, в котором AA 1 = 1, AG =, GA 1 = Ответ: Из подобия треугольников AA 1 G и HAG находим AH = Призма 19
В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости F 1 C 1 D. Решение: Заметим, что данная плоскость параллельна плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи, причем AE = 2 AG. Следовательно, искомое расстояние AH от точки A до п лоскости F 1 C 1 D в два раза больше расстояния от точки A до плоскости A 1 B 1 C, т.е. равно Ответ: Призма 20
