Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между прямыми.
Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Сочетательный закон Переместительный закон Распределительный закон 1 2 3 Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов,, и любого числа справедливы равенства: a b k c 4 a 2 0 ³ причем при a 2 > 0 a 0 ¹ a b b a = ( a + b ) c = a c + b ( k a ) b k ( a b ) = c
Ввел в 1845 г. У. ГАМИЛЬТОН, английский математик.
Если, то Если, то - острый угол Если, то - тупой угол
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
a { 3 ; -4; 2 }, b { -2 ; 1; 3 }, Найдите c {-2; - 1,5 ; 0 } a b b c c a = - 4 = 2,5 = 0 Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами и, и, и a b b c c a тупой острый прямой = 3 (-2) + (-4) 1 + 2 3 = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) + 3 0 = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) + 2 0
a {1; - 1 ; 2 }, b { - 1; 1; 1}, c {5; 6 ; 2} Вычислить a c = a b = b c = a a = b b = 1 5 + (-1) 6 + 2 2 = 3 1 (-1) + (-1) 1 + 2 1 = 0 -1 5 + 1 6 + 1 2 = 3 1 1 + (-1) (-1) + 2 2 = 6 -1 (-1) + 1 1 + 1 1 = 3
Формула скалярного произведения векторов в пространстве. Косинус угла между ненулевыми векторами
Задача Вычислить угол между векторами Решение
a d Найти углы между векторами. b 30 0 a b = c f 30 0 a c = b c = d f = d c = 120 0 90 0 180 0 0 0 a b d f Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0. b c ^ b d ^ b f ^
Скалярное произведение в физике A = F MN cos j F j N M A = F MN точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в
a b = a b cos 90 0 a b = 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. a b Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. a b = 0 a b a b = 0 a b ^ Û Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 90 0
a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. a b > 0 Û a > 0 > 0 a b < 90 0 a b < 90 0
a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. a b < 0 Û a < 0 < 0 a b > 90 0 a b > 90 0
Угол между прямыми - направляющий вектор прямой а - направляющий вектор прямой b - угол между прямыми
