Угол между прямой и плоскостью 11 класс. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Как находят координаты середины отрезка? Как находят длину вектора? Как находят расстояние между точками? Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?
a d Найти углы между векторами b 30 a b = c f 30 0 a c = b c = d f = d c = 120 90 180 0 a b d f Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 . b c ^ b d ^ b f ^
Условие коллинеарности векторов: Условие перпендикулярности векторов: Какие векторы называются перпендикулярными? Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 .
Что называется скалярным произведением векторов? Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? Чему равен скалярный квадрат вектора? Свойства скалярного произведения? 0 переместительный - распределительный - сочетательный
№ 451 (а) a c
№ 453
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость. a A a 1 )
1. Если a , то проекцией a на является точка А a = A, ( a, ) = 90 A a 2. Если a || , a 1 - проекция a на , то a || a 1, a 1 . ( a, ) = 0 a 1 a
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей. а В А
№1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. а) б) θ θ φ = θ φ = 180 0 - θ
№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.. а) б) α а φ θ α а φ φ θ
Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD. Ваши предложения… Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 30 0
№ 466 ( а ) Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб точка М принадлежит АА 1 АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD 1 C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D 1. Введем систему координат. у х z 2. Рассмотрим DD 1 и М N. М N 3. Пусть АА 1 = 4( почему), то 4. Найдем координаты векторов DD 1 и MN. 5. По формуле найдем cos φ. Ответ: М ( ; ; ) 4 0 3 N ( ; ; ) 2 4 0 DD 1 0; 0; 4 , MN – 2; 4; – 3
Задача Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед; DA= 1 ; DC= 2; DD 1 = 3 C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D 1 2 3 Найти угол между прямыми СВ 1 и D 1 B х у z Ваши предложения… 1. Введем систему координат D xyz 2. Рассмотрим направляющие прямых D 1 B и CB 1. 3. По формуле найдем cos φ.
№ 467 (а) Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольный парал-д АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми В D и CD 1. C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D 1 способ: 1. Введем систему координат B xyz х у z 2. Пусть АА 1 = 2, тогда АВ = ВС = 1. 4. Координаты векторов В D и CD 1 : 5. Находим косинус угла между прямыми: 3. Определим координаты точек В, С, D и D 1 :, ,
C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D х у z № 467 (а) Дано: АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольный парал-д АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми В D и CD 1. 2 способ: 1. Т.к. С D 1 || ВА 1, то углы между В D и ВА 1 ; В D и С D 1 – равны. 2. В Δ В D А 1 : ВА 1 = √5, А 1 D = √5 3. Δ В D А: по теореме Пифагора 4. По теореме косинусов:
