События А и В называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени А -выбивание четного числа очков; В - не четного ). События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого ( А - в аудиторию вошел учитель; В - вошел студент).
Теорема 1. В ероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого ( А - в аудиторию вошел учитель; В - вошел студент). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
В лотерее участвуют 100 билетов, из которых на 5 билетов падает выигрыш 20 рублей, на 10 билетов – 15 руб., на 15 билетов – 10 руб., на 25 билетов – 2 рубля. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10 рублей. Решение. Пусть А,В,С – события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20,15 и 10 руб. Т.к. события А,В и С несовместны, то Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 5 + 10 + 15 = 0,3 100 100 100
В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт, 50 – по 60 Вт, 50 - по 25 Вт, 50 - по 15 Вт. Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки не превысит 60 Вт.
Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки равна 60 Вт, В – 25 Вт, С – 15 Вт, D – 100 Вт. События А,В,С, D образуют полную систему, т.к.все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном испытании (выборе лампочки), т.е. Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р( D ) = 1. События «мощность лампочки не более 60 Вт» и «мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные. По свойству противоположных событий Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р( D ), Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3 250 250 5
В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные, остальные белые. Определить вероятность того, что из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета. Решение Пусть А – событие, состоящее в том, что все 4 галстука будут красные, В – все 4 галстука будут белыми
4 галстука из 12 красных можно выбрать способами, аналогично 4 белых - способами. Вероятность того, что все 4 галстука будут красные, равна 4 галстука из 30 можно выбрать способами
Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Для независимых событий Р(А)=Р(А/В) или Р(В)=Р(В/А ) Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого (в противном случае - зависимыми).
Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ )=Р(А) Р(В/А ) Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми? 15 28 23 36 46 Задача 4
Пусть А 1 – из первой урны извлечен белый шар; А 2 – из второй урны извлечен белый шар. События А 1 и А 2 независимы.
Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; Вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать. Задача 5
Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие Е – выход из строя второго элемента. Эти события независимы ( по условию). а) одновременно появление А и Е есть событие АЕ Р(АЕ) = 0,2·0,3 = 0,06 б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя); Если работает второй элемент – событие Ē, противоположное событию Е Р( Ā ) =1- 0,2 = 0,8 и Р( Ē ) = 1-0,3 = 0,7 Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть ĀĒ. Р( Ā Ē) = Р( Ā )·Р( Ē ) = 0,8·0,7 = 0,56. Решение
В ящике 6 белых и 8 красных шаров. Из ящика вынули 2 шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.
Пусть событие А – появление белого шара при первом вынимании; событие В – появление белого шара при втором вынимании. События зависимы, поэтому Р(АВ)=Р(А) Р(В/А) Р(А)= Р(В/А)=
Требуется вычислить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу.
Теорема. Пусть события В 1,В 2,…,В n образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них событие А может наступить с некоторой условной вероятностью, тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности каждого события из полной группы на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В 1 )Р(А/В 1 )+Р(В 2 )Р(А/В 2 )+…+Р(В n ) Р(А/В n )
На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность первого станка за смену 40 деталей, второго – 35, третьего – 25. Установлено, что 2%,3% и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены взята одна деталь. Какова вероятность, что она имеет дефект ? Решение. А – деталь имеет дефект; В1 – деталь изготовлена на первом станке; В2 – деталь изготовлена на втором станке; В3 – деталь изготовлена на третьем станке. Р(А)=Р(В 1 )Р(А/В 1 )+Р(В 2 )Р(А/В 2 )+Р(В 3 )Р(А/В 3 )= Р(В 1 )= Р(А/В 1 )= Р(В 2 )= Р(А/В 2 )= Р(В 3 )= Р(А/В 3 )=
Пусть событие А уже наступило. Как изменятся при этом условии вероятности событий В i ? Так как событие А и В i совместны, то по теореме умножения :
Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя первой в течении достаточно длительного времени – 0,2, второй – 0,1. Известно, что прибор вышел из строя. Какова вероятность, что вышла из строя 1-я микросхема? Решение. А – из строя вышел прибор ; В1 – отказала первая; В2 – отказала вторая; В3 – отказали обе. Р(В 1 )= 0,2*0,9=0,18 Р(А/В 2 )=1 Р(В 2 )= 0,8*0,1=0,08 Р(А/В 3 )=1 Р(В 3 )= 0,2*0,1=0,02 Р(А/В 4 )=1
