Вероятность случайного события – это количественная характеристика возможности наступления этого события
– раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий
1494 г. итальянский математик Лука Пачиоли, решение задачи об игре в кости (верное решение не найдено) 1540-е гг. итальянский математик Джерола́мо Кардано, критика решения Пачиоли, но и предложенное им решение так же ошибочно 1654 г. задача решена в ходе переписки между французскими математиками Блезом Паскалем и Пьером Ферма, в процессе обсуждения сформулированы понятия «вероятность» и «математическое ожидание»
1713 г. трактат о теории вероятностей Якоба Бернулли (применение в страховании, статистике, математическом изучении наследственности) 1718 г. «Учение о случайностях» Абрахам де Муавр, английский математик французского происхождения (закон «нормального распределения») 1812 г. «Аналитическая теория вероятностей» Пьер-Симон Лаплас (классическое определение вероятности)
Российская и советская – В.Я.Буняковский (1846 г., первый русский учебник «Основания математической теории вероятностей»), С.Н.Бернштейн (1917 г., аксиоматическое построение теории вероятностей), П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров Англо-американская – У.С.Глоссет (Стьюдент), Р.Фишер, Э.Пирсон, Дж.Нейман,
В XX в. теория вероятностей превратилась в одну из самых быстроразвивающихся математических дисциплин Ее результаты и методы широко применяются во всех отраслях науки и техники, а также в управлении, промышленности, экономики и пр. Практические потребности приводят к появлению ее новых отраслей и разделов: Математическая статистика Теория массового обслуживания Теория информации Экономическое моделирование и др.
Все области естествознания и техники, а также Экономика Военное дело Метеорология и климатология Социология Психология Медицина Астрономия Литературоведение и др.
В теории вероятностей изучаются модели экспериментов (опытов, испытаний), исход которых нельзя предсказать заранее (бросок монеты - что выпадет – орел или решка ?, игральной кости – какое из чисел 1,2..6 выпадет ? и т.п.) Результат эксперимента, который при проведении опыта может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием События обозначаются A,B,C…
Событие называется достоверным, если при проведении опыта оно обязательно произойдет (выпадение положительного числа очков при бросании кости) Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти при проведении данного опыта (выпадение 7 очков при одном бросании игральной кости) Достоверное событие обозначают буквой U, а невозможное - V
- это полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента. Осуществление одного исхода исключает реализацию других, и результатом опыта всегда является один и только один элементарный исход Например, при бросании игральной кости непременно произойдет одно из элементарных событий e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, где через e i обозначено выпадение конкретного числа очков i. Эти события образуют множество элементарных событий E={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 }.
Все исходы данного эксперимента могут быть представлены как подмножества Е. Пусть событие A =«выпадение четного числа очков». Это событие произойдет, если произойдет одно из событий e 2, e 4, e 6. Событие A может быть представлено подмножеством {e 2, e 4, e 6 }. множества E Событие В = «выпадение числа очков большее 3 » может быть представлено подмножеством {e 4, e 5, e 6 } множества E Событие, соответствующее пустому множеству - невозможное Событие, соответствующее всему множеству Е - достоверное
Если сравнивать события e 2 и А, то можно сказать, что e 2 влечет за собой А (если произошло e 2, то произошло и А). Говорят, что e 2 благоприятно для А и пишут Если и одновременно, то говорят, что события А и В совпадают (или тождественны ) и пишут А=В
Сумма событий А и В – это событие А+В (А ИЛИ В), состоящее в том, что произошло хотя бы одно из этих событий (или оба). Сумме событий соответствует объединение множеств Например, A =«выпадение четного числа очков», В = «выпадение числа очков большее 3 » А+В= {e 2,e 4,e 6 } + {e 4,e 5,e 6 } = {e 2,e 4,e 5,e 6 }
Произведением событий А и В называется событие АВ (А И В), состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств. Например, для предыдущих событий АВ= {e 2,e 4,e 6 }{e 4,e 5,e 6 } = {e 4,e 6 } События А и В несовместны, если AB = V, т.е. события не могут произойти одновременно
Разностью событий А и В называется событие А-В (А НО НЕ В), состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Разности событий соответствует разность множеств. А-В= {e 2,e 4,e 6 } - {e 4,e 5,e 6 } = {e 2 } _ Событие А= Е-А называется событием противоположным А. Оно состоит в том, что событие А не происходит. _ А= {e 1,e 3,e 5 }
Если сумма событий А 1,А 2 ….А n – достоверное событие, т.е. А 1 +А 2 +…+А n = U, то события А 1,А 2 ….А n образуют полную группу событий Если никакие два события из А 1,А 2 ….А n не могут произойти одновременно, т.е. А i А j = V при i≠j, то события А 1,А 2 ….А n попарно несовместны Если А 1,А 2 ….А n во-первых, образуют полную группу, во-вторых, попарно несовместны, то они образуют полную группу попарно несовместных событий
Вероятность случайного события – это количественная характеристика возможности наступления этого события Пусть n – число всех элементарных исходов опыта, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, а m – число тех из них, которые благоприятны событию А. Тогда вероятностью события А называют число
В рассмотренном выше примере с броском кости Р( e i )=1 /6 поскольку каждому e i благоприятен только один исход опыта, а событию А =«выпадение четного числа очков» благоприятно три исхода, поэтому Р(А)=3 /6=1/2 При бросании монеты вероятности выпадения орла = вероятности выпадения решки = 1 /2
Пусть проводится некоторый опыт, в результате которого может наступить событие A. Предположим, этот опыт проведен N раз и при этом событие A появилось ровно M раз. Тогда число Называется статистической вероятностью (или относительной частотой) события A в рассматриваемой серии опытов
Рассмотрим события – рождение мальчика или рождение девочки. Кажется, что вероятности этих событий равны 0,5. Но статистика рождений не вполне согласуется с нашим «кажется». В действительности мальчиков рождается больше, чем девочек – примерно 518 мальчиков на каждую тысячу детей. Значит статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,518
Вероятность достоверного события равна 1 P(U)=1 Вероятность невозможного события равна 0 P(V)=0 Вероятность любого события А – всегда положительное число, меньшее 1 Вероятность события, противоположного А
Задачи 21-35, стр.65
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного осуществления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Пример. Бросаем две игральные кости. Вычислим вероятность появления хотя бы одной шестерки. (на первой или на второй кости выпадет шестерка) Пусть А=«выпадение шестерки на первой кости» В=«выпадение шестерки на второй кости» Требуется вычислить Р(А+В). Р(А)=1 /6, P(B)=1/6, P(AB)=1/36 P(A+B)=1/6+1/6-1/36=11/36
Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Пример. Бросаем одну кость. Найти вероятность того, что ней выпадет двойка или единица. Пусть А=«выпадение единицы» В=«выпадение двойки». Требуется вычислить Р(А+В). Р(А)=1 /6, P(B)=1/6, P(A+B)=1/6+1/6=1/3
Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А | В). Условная вероятность возникает в ситуации, когда вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В.
Из урны, в которой находится 10 белых и 5 черных шаров вынимают один за другим два шара. Рассмотрим события В=«первый шар белый»,А=«второй шар белый» Понятно, что Р(В)=2 /3. Как вычислить Р(А) ? Если событие В произошло, то среди оставшихся 14 шаров только 9 белых, поэтому Р(А)=9 /14. Если же событие В не произошло, т.е. первый шар был черным, то среди 14 оставшихся в урне шаров будет 10 белых и Р(А)=10 /14=5/7. Таким образом, вероятность события А зависит от того, произошло или нет событие В т.е. вероятность А - условная
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое событие произошло Р(АВ)=Р(В)Р(А | В)= P( А )P(B|A)
Из колоды в 36 карт наугад вынимаем 2 карты. Вычисли вероятность того, что вынуты 2 дамы. Обозначим события А=«первая карта - дама», В=«вторая карта - дама». Мы хотим вычислить Р(АВ). Поскольку в колоде 4 дамы, то Р(А)= 4/36. Если одна дама из колоды уже вынута, то вероятность того, что вторая карта тоже дама равна Р(В | А)=3 /35. Согласно теореме P(AB)=P(A)P(B|A)=4/36 * 3/35= =1/105
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Бросаем две монеты. Какова вероятность, что выпадет два орла. Обозначим А=«на первой монете орел» B= «на второй монете орел» P(A)=1/2, P(B)=1/2 Очевидно, что события А и В совместны и независимы, поэтому Р(АВ)=Р(А)Р(В)= 1/2*1/2=1/4
Следствием обеих основных теорем (сложения и умножения) является формула полной вероятности Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из событий В 1,В 2 ….В n, образующих полную группу попарно несовместных событий. Если А произошло с одним из событий В 1,В 2 ….В n, значит произошло одно из несовместных событий. А В 1,АВ 2 ….АВ n Таким образом, А может быть представлено в виде совокупности событий А В 1, или АВ 2 ….или АВ n, а это означает, что А= А В 1 +АВ 2 +...+АВ n
Согласно теореме о сумме попарно несовместных событий Р(А)= Р(АВ 1 )+Р(АВ 2 )+...+Р(АВ n ) По теореме о произведении двух событий Р(АВ n )=Р(В n )Р(А | В n ) Следовательно Р(А)= Р(В 1 )Р(А | В 1 )+Р(В 2 )Р(А | В 2 )+...+Р(В n )Р(А | В n ) Получили формулу полной вероятности. События В 1,В 2 ….В n в этой формуле называют гипотезами
Если в выражении для условной вероятности Заменим вероятность Р(А) по формуле полной вероятности, то получим формулу Байеса
Эта формула применяется для вычисления условной вероятности гипотезы В 1 после испытания, при котором произошло событие. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятых до испытания (априорные), по результатам уже проведенного испытания.
Из 10 студентов, пришедших на экзамен по математике Трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не подготовился. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовившиеся – на 16, удовлетворительно – на 10, а кто совсем не готовился – на 5. Каждый студент получил билет, в котором три вопроса. Приглашенный первым студент ответил на все три вопроса. Какова вероятность, что он отлично подготовился ?
Обозначим события А=«приглашенный студент ответил на все три вопроса» В 1 =«приглашен студент, подготовившийся отлично» В 2 =«приглашен студент, подготовившийся хорошо» В 3 =«приглашен студент, подготовившийся удовлетворительно» В 4 =«приглашен студент, который к экзамену не готовился»
Согласно условию задачи Р(В 1 )= 0,3 ; Р(В 2 )= 0,4 ; Р(В 3 )= 0,2 ; Р(В 4 )= 0,1 Кроме того, Р(А | В 1 )= 1 Р( A| В 2 )= (16/20)*(15/19)*(14/18)=0,491 Р( A| В 3 )= (10/20)*(9/19)*(8/18)=0,105 Р(В 4 )= (5/20)*(4/19)*(3/18)=0,009 Следует найти Р(В 1 |A ). По формуле Байеса
Задачи 36-64, стр.65-68
