"Углы в пространстве" 11 класс Л. С. Атанасян,"Геометрия 10-11"
"Мастерство - это то, чего можно добиться" А.С. Макаренко
Цели и задачи урока: Образовательные : рассмотрение всех возможных комбинаций углов в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями), решение геометрических задач классическим и координатно-векторным методами; формирование навыков чтения чертежей, умений проводить дополнительные построения и вычисления; Развивающие: формирование умения выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей; Воспитательные: Развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умение вести культурную дискуссию, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.
Теоретический материал 1. Угол между скрещивающимися прямыми. 2. Угол между прямой и плоскостью. 3. Угол между двумя плоскостями. 5. Теорема косинусов 4. Теорема о трех перпендикулярах классический координатно-векторный классический координатно-векторный классический координатно-векторный Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра. Сенека 6. Нормаль к плоскости
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. a b a b M m
Углом между прямой и плоскостью, пересе-кающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. перпендикуляр наклонная проекция Н М А
Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. О Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.
А В перпендикуляр наклонная проекция TT П С а TT П
а - ? в с Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Уравнение плоскости в пространстве: Нормаль к плоскости Для нахождения координат нормали: Направляющие векторы плоскости
х z y A D C B
- направляющий вектор прямой - нормаль к плоскости
О - нормаль к плоскости - нормаль к плоскости
Задачи на готовых чертежах 1 A B 1 N 8 N 1 B A 1 a C C 1 2 8 8 45 0 8 2 8 2 8 2 8 Дано: Найти: ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник AB = СС 1 = 8 Ответ: 60 0
Задачи на готовых чертежах 2 D А В С А 1 D 1 С 1 a В 1 2 2 О наклонная 1 1 1 K проекция Дано: Найти: Ответ: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб
Задачи на готовых чертежах 3 D A B A 1 D 1 C C 1 3 н-я п-р B 1 2 M a F L K п-я Дано: Найти: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоуг. парал-д М – середина B 1 C 1 АВ = 3, ВС = 4, СС 1 = 2 4
B C A D 3 4 D A B A 1 D 1 3 B 1 4 2 M a F L K L 2 K 5 Из Δ MKL: Ответ: ∆BDC ~ ∆BKL ( по двум углам)
Решение геометрических задач 1 Точка Е – середина ребра ВВ 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найти угол между прямыми АЕ и СА 1. координатно-векторный классический 2 3 Основанием прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС. АВ = АС = 5, ВС = 8. Высота призмы равна 3. Найти угол между прямой А 1 В и плоскостью ВСС 1. классический координатно-векторный В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕ D 1. классический координатно-векторный
B A D C C 1 A 1 D 1 B 1 Е F 1 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, BE = EB 1. Найти: Решение: 1 Из ∆ ACA 1 найдем СА 1 : Проведем через А 1 прямую А 1 F ll AE. Из ∆ A 1 B 1 F ( ∟B 1 = 90 0 ) найдем А 1 F: Из ∆ CBF ( ∟B = 90 0 ) найдем CF: Из ∆ CA 1 F найдем Ответ:
B A D C C 1 A 1 D 1 B 1 Е 1 x z y Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, BE = EB 1. Найти: Решение: Введем систему координат. Определим координаты точек А, Е, С, А 1 (0;0;0) (1;1;0) (1;0;1/2) (1;1;1) Направляющие векторы прямых: Ответ: 1
2 М С 1 А В С А 1 В 1 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма, ∆ АВС – равнобедренный А B = АС = 5, ВС = 8, СС 1 = 3. Найти: Решение: Из ∆ A 1 В 1 С 1 : ВМ – проекция А 1 В на ( ВСС 1 ) А 1 М ┴ ( ВСС 1 ) Т.к. В 1 М = 4, ВВ 1 = 3, то ВМ = 5 5 3 Из ∆А 1 ВМ: Ответ:
2 С 1 А В С А 1 В 1 z у х Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма, ∆ АВС – равнобедренный, А B = АС = 5, ВС = 8, СС 1 = 3. Найти: Решение: Введем систему координат. Определим координаты точек А 1, B, С, C 1 3 (0;3;3) (4;0;0) (- 4;0;0) (- 4;0;3) Направляющий вектор А 1 В: Направляющие векторы (ВСС 1 ): Найдем координаты нормали Ответ:
3 D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 Е F K H 1 5 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма, BC = 1, BB 1 = 5, AE : EA 1 = 2:3 Найти: Решение: Проведем ЕН ┴ КВ, тогда АН ┴ КВ (АН – проекция ЕН) Найдем АК: Из ∆ АКВ (∟А=90 0 ) найдем ВК: Найдем высоту АН: Из ∆ АНЕ : Ответ:
3 D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 Е F 1 5 z x y Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма, BC = 1, BB 1 = 5, AE : EA 1 = 2:3 Найти: Решение: Введем систему координат. Определим координаты точек A, B, С, E, D 1 (0;0;0) (0;1;2) (1;1;5) (1;0;0) (0;1;0) Направляющие векторы плоскостей: Найдем координаты нормалей: 1) 2) Таким образом Ответ:
Самостоятельная работа Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями. А.Д. Александров 1 1 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 О О 1 1 2 1 1 1 1 С 1 А В С А 1 В 1 D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 4 6 6 3 кл к - в кл кл к - в к - в
1 1 1 1 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 О О 1 Дано: ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: Построим ( AA 1 D ) || ( BB 1 C ), AO 1 || BC 1 Из ∆ АВВ 1 : Из ∆ АА 1 О 1 : Из ∆ АА 1 О 1 : Ответ:
1 1 1 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 О О 1 Дано: ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: Введем систему координат. z x y Определим координаты точек А, B, B 1, C 1 (0;0;0) (1;0;0) (1;0;1) Направляющие векторы прямых: Ответ:
2 1 1 1 1 М С 1 А В С А 1 В 1 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: В ∆ А 1 В 1 С 1 проведем В 1 М ┴ А 1 С 1 АМ – проекция АВ 1 Из ∆ АВВ 1 : Из ∆ АА 1 М: Из ∆ АМВ 1 : Ответ:
2 1 1 1 1 С 1 А В С А 1 В 1 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: z x y Введем систему координат. Определим координаты точек А, B 1, A 1, C (0;1/2;0) (0;1/2;1) (0;-1/2;0) Направляющий вектор АВ 1 : Направляющие векторы ( AA 1 C ): Найдем координаты нормали Ответ:
3 D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 4 4 6 6 6 6 О Дано: Найти: Решение: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА 1 = 4. ( АВС ) || ( А 1 В 1 С 1 ) ( АВС ) ∩ ( А 1 В 1 С 1 ) = АС D 1 O ┴ AC DO ┴ AC Из ∆ ABD : Из ∆ DOD 1 : Ответ:
3 D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 4 4 6 6 О Дано: Найти: Решение: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА 1 = 4. Введем систему координат. z x y Определим координаты точек : А, D, C, D 1 (0;0;0) (6;0;0) (0;6;0) (0;0;4) Направляющие векторы ( ADC )и ( AD 1 C ): Найдем координаты нормалей : 1) 2) Таким образом Ответ:
Геометрия приближает разум к истине Платон 1. Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12.Найти угол между прямой и плоскостью боковой грани В правильной пирамиде с основанием АВС известны ребра и Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани 2. Решение Решение Дополнительные задачи
В А С С 1 В 1 А 1 12 12 М α К Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12.Найти угол между прямой и плоскостью боковой грани Решение Наклонная Проекция 1. Искомый угол найдем из 2. МК найдем из 3. МВ 1 найдем из К М В 6 60 0 ? В М В 1 ? 60 0 6 4. Таким образом: Ответ:
В правильной пирамиде с основанием АВС известны ребра и Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани Решение А С В S N М H K 17 Пусть SN – медиана H, K – проекции точек S и M на основание А BC 1. Искомый угол найдем из 2. Из 3. По свойству медианы и из подобия 4. Таким образом: Ответ: найдем AN : найдем МК, а затем АК: затем высоту SH :
Итог урока: 1) Как определить угол между скрещивающимися прямыми классическим или координатно-векторным методом ? Ответьте на вопросы 2) Как определить угол между прямой и плоскостью классическим или координатно-векторным методом ? 3) Как определить угол между двумя плоскостями классическим или координатно-векторным методом ?
Притча Что ты делал целый день? Первый с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. Второй ответил, что добросовестно выполнял свою работу. Третий ответил, что принимал участие в строительстве храма.
