Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов
М Пусть постоянная сила действует на прямолинейно перемещающуюся точку М под углом φ к направлению движения Таким образом, двум векторам: силе и перемещению оказался сопоставлен скаляр – работа. Этот скаляр А и называется скалярным произведением силы на перемещение Как известно из физики, работа силы по перемещению точки М определяется по формуле: Скалярным произведением двух векторов называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение двух векторов и обозначатся: Если векторы и не нулевые: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: Законы скалярного произведения 1) 2) 3)
Для координатных ортов декартовой системы координат справедливо: Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы: Найдем скалярное произведение: 1 1 1 0 0 0 0 0 0
Из формулы скалярного произведения векторов следует формула для нахождения угла между векторами: Найти косинус угола между векторами:
Тройка некомпланарных векторов называется правой если наименьший поворот с конца третьего вектора от первого вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, определяемый следующим образом: Вектор направлен так, что тройка векторов - правая. левой по
Модуль вектороного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах Законы векторного произведения 1) 2) 3) 4) - векторный квадрат равен нулю для любого вектора
Для координатных ортов декартовой системы координат справедливо: + - Векторное произведение двух разноименных ортов, следующих друг за другом в направлении положительного обхода окружности, равно третьему орту со знаком плюс, в противоположном же случае - знаком минус. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы: Найдем векторное произведение:
0 0 0
Найти векторное произведение векторов:
Найти площадь треугольника с вершинами: Найдем координаты векторов: А В С
Смешанное произведение представляет собой скаляр. Выясним его геометрический смысл. Векторно - скалярным или смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, т.е. произведение вида : Построим на векторах параллелепипед, основанием, которого будем считать параллелограмм со сторонами. Обозначим:, тогда площадь основания будет равна: Обозначим через h высоту параллелепипеда, тогда объем будет равен:
С мешанн ое произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах в том случае, если векторы образуют правую тройку векторов (как в предыдущем примере). В случае, если векторы образуют левую тройку, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, взятому со знаком « - »: Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их смешанного произведения :
Законы смешанного произведения 1) 2) Сочетательный закон следует из геометрического смысла смешанного произведения: Учитывая сочетательный закон, смешанное произведение обозначают: или. Закон круговой переместительности: П ри перестановке множителей не нарушающей их кругового порядка, смешанное произведение не меняется, при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, смешанное произведение меняет свой знак
3) Распределительный закон В частности, смешанное произведение равно нулю, если в нем два множителя одинаковы: Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы:
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами: Найдем координаты векторов: А В С D Объем треугольной пирамиды равен 1 / 6 части параллелепипеда, построенного на векторах
