1
Математическая величина Скалярная величина (характеризуется численным значением) Векторная величина (Характеризуется численным значением и направлением) 2
Определение 1. Вектором называется отрезок, имеющий определенную длину и направление. Определение 2. Модулем вектора (длиной вектора) называется длина отрезка : А В Обозначения: 3
- вектор, у которого начало и конец совпадают. Определение 3. Коллинеарными называются векторы, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Определение 4. Углом между векторами называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы их направления совпали. Обозначение: 4
Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следствие. При параллельном переносе получаются равные векторы. 5
Определение 6. Два вектора называются противоположными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и противоположное направление. Определение 7. Компланарными называются векторы, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Замечание. Два вектора всегда компланарны. 6
Сумма векторов. Определение 1 (правило треугольника). Пусть начало второго вектора совпадает с концом первого. Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов. 7
Сумма векторов. Определение 2 (правило параллелограмма). Пусть начала первого и второго векторов совпадают. Построим на этих векторах параллелограмм. Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей через общее начало, называется суммой этих векторов. 8
Разность векторов. Определение 1. Разностью векторов называется такой вектор,что сумма Определение 2. Пусть начала первого и второго векторов совпадают. Тогда разностью векторов называется вектор, соединяющий их концы и направленный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора. 9
Произведение вектора на число. Определение. Произведением вектора на число называется вектор, коллинеарный вектору, равный по модулю, направленный при в ту же сторону, что и, и в противоположную сторону, если. 10
Пример. Задан вектор. Построить векторы Построение : Теорема. Пусть. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такая постоянная, что 11
Разложение векторов по ортам. Определение 1. Ортом вектора называется вектор, имеющий единичную длину и то же направление, что и вектор. 12
Рассмотрим прямоугольную систему координат. Теорема 3. В пространстве любой вектор можно разложить по ортонормированному базису : Такое разложение единственное. x y z 0 Векторы -единичные (орты), направленные по осям x, y, z ( соответственно ) Определение 2. Тройка векторов называется ортонормированным базисом в пространстве. 13
Определение 3. Коэффициенты x, y, z разложения называются прямоугольными координатами вектора : Частный случай. Если вектор расположен на координатной плоскости хо y, то разложение будет иметь вид Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами вектора на плоскости : 14
Рассмотрим вектор и ось Определение. Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца и начала вектора на эту ось; 0 15
В пространстве: Следствие. Если вектор задан двумя точками, - начало, - конец, то 16
Сумма и разность векторов, произведение вектора на число. Пусть Тогда 1. 2. Модуль вектора Орт вектора 17
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, заданных в координатной форме. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда соответствующие координаты пропорциональны. Пусть Тогда Доказательство. 18
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Физический смысл. Пусть материальная точка под действием силы перемещается из положения в положение Работа силы по перемещению материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Обозначения : 19
Свойства скалярного произведения. 1. 2. 3. 4. Следствия из формулы 4 : 20
5. 6. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. 7. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Определение перпендикулярных векторов: 90 ° 21
Скалярное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Условие перпендикулярности векторов в координатной форме : 22
Ориентированные тройки векторов. Рассмотрим три упорядоченных некомпланарных вектора Определение 1. У порядоченная тройка векторов имеет правую ориентацию, когда смотришь с конца третьего вектора и кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. 23
Поменяем порядок векторов и : Изменится ориентация тройки. Определение 2. Упорядоченная тройка векторов имеет левую ориентацию, когда смотришь с конца третьего вектора и кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит по часовой стрелке. Пример. Тройка векторов имеет правую ориентацию. x y z 0 Система координат х, у, z имеет правую ориентацию. 24
Определение 3. Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, удовлетворяющий трем условиям : 1. 2. 3. Тройка векторов имеет правую ориентацию. Обозначения : 25
Физический смысл. Пусть к твердому телу, закрепленному в точке А, приложена в точке В сила Момент силы, приложенной в точке В, относительно точки А равен векторному произведению вектора и силы : А В 26
Свойства векторного произведения. 1. 2. 3. 4. Геометрический смысл. Модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: 27
5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору: 6. 28
Векторное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда 29
Определение. Смешанным произведением трех векторов называется векторное произведение первых двух векторов, умноженное скалярно на третий вектор: Обозначения: Замечание. Результат смешанного произведения трех векторов является скалярной величиной. 30
4. Геометрический смысл. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах : Знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторов : если, то тройка имеет правую ориентацию; если, то тройка имеет левую ориентацию. 31
5. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда 32
