Раздел 3. Ряды. § 1. Понятие ряда. Необходимый признак сходимости. Пусть имеется числовые последовательности а 1, а 2,… а n. Определение (ряда). Выражение вида а 1 + а 2 + а 3 +…+ а n +…,сокращённо записываемое как называют рядом. При этом а 1, а 2, … а n … - члены ряда. а n общий член ряда. 1
2
S 1, S 2 … Sn.. – последовательность чисел S 1, S 2 … S n … - частичные суммы ряда. S n – n - тая частичная сумма. Опр. (сходимости числового ряда) Числовой ряд называется сходящим, если существует конечный предел последовательности его частичны сумм, при n→∞. При этом называется суммой ряда. Замечание. Если предел последовательности частичных сумм равен ∞ или не существует, то ряд называется расходящимся. 3
Исследование на сходимость – это исследование, из которого можно узнать сходиться ряд или расходиться. Пусть дан ряд: сходимость - ? S 1 = S 2 = = S 3 = + = S n = 4
= ln ( n +1)=∞ Исходный ряд расходится. ln n n Пример: сходится - ? S 1 = 1, S 2 = 1-1= 0, S 3 = 1, S 4 = 0... S 1 = S 3 = S 5 =... = S 2к-1 =... =1 S 2 = S 4 =... = S 2к =... = 0 = 1 5
= 0. Если предположить, что ряд сходится, значит должен существовать предел последовательности частичных сумм. Если предел существует, то он единственный. К этому пределу сходится любая подпоследовательность исходной последовательности частичных сумм. Ряд расходится, т.к. последовательности сходятся к различным пределам. 6
Теорема 1. (необходимый признак сходимости ). Если числовой ряд (1) сходится, то ( a n – общий член ряда). Доказательство. S n = a 1 + a 2 + …+ a n S n -1 = a 1 + a 2 + …+ a n -1 Вычитая из одного равенства другое, имеем: S n - S n -1 = a n. Так как по условию ряд (1) сходится, значит существует и 7
Тогда: по теореме о пределе разности Ч.т.д. Замечание 1. Необходимый признак сходимости не является достаточным. Это означает, что из того, что нельзя сделать вывод, что ряд сходится. 8
Пример. Дан ряд: n Используя теорему о предельном переходе в неравенствах, имеем: ,то, значит ряд расходиться 9
Замечание 2. Необходимый признак сходимости обычно используют для доказательства расходимости ряда. Пример: Предположим, что он сходится. Тогда по необходимому признаку, но. Наше предположение неверно, ряд расходится. 10
1.2. Некоторые свойства числовых рядов Теорема 1. (об умножении ряда на число). Пусть ряд (1) сходится, а -действительное число. Тогда ряд (2) также сходится. Причем сумма ряда (2) в -раз больше суммы (1). Доказательство: Т.к. ряд (1) сходится, следовательно, существует предел последовательности частичных сумм 11
Рассмотрим ряд (2). , S n = a 1 + a 2 +... + a n = Т.к. в сумме конечное число членов, то = ( a 1 + a 2 +... + a n ) = S n по свойству пределов = = в силу сходимости ряда (1) = S Т.к. S – конечное, то по определению ряд сходится. 12
2) S n = S сумма ряда S в раз больше суммы ряда S. Замечание. Т.к.. Отсюда видно, что число можно выносить за знак суммы сходящегося ряда. Теорема 2. (о сумме (разности) сходящихся рядов). Пусть ряд (1) и ряд (2) сходятся. Тогда сходятся и ряды и ряды (3) и 13
Причем, если суммы рядов (1) и (2) равны A, B, то суммы рядов (3), (4) равны A±B соответственно. Доказательство: По условию ряд - сходится существует. - сходится существует. Рассмотрим ряд вида: Составим для него частичную сумму: 14
S n = ( а 1 ± b 1 )+ ( а 2 ± b 2 )+... + ( а n ± b n )= с учетом конечности слагаемых, сгруппируем= = ( а 1 + а 2 +... + а n )± ( b 1 + b 2 +... + b n )= S n ± S n Переходя к пределу в полученном неравенстве, имеем: по теореме по сумме (разности) пределов = 1. Ряд и ряд сходятся по определению. 15
. Замечание:1)Т.к. то сходящиеся ряды можно почленно вычитать или складывать и полученные ряды снова будут сходится. 2) Если же ряд а n и b n расходятся, то о сходимости ряда ничего нельзя сказать. 16
Теорема 3. (о добавлении конечного числа членов к ряду). Если ряд сходится (расходится), то Добавление (вычитание) к ряду конечного числа членов не меняет характера сходимости ряда. 1.3. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Геометрическим называется ряд вида: 1+ q+q 2 + q 3 +... + q n +...=, q- знаменатель 17
Составим частичную сумму для ряда: S n =( 1+ q+q 2 + q 3 +... + q n-1 ) = q≠1. Исследуем геометрический ряд на сходимость в зависимости от числа q. 1. Пусть >1.Тогда, значит, ряд расходится, т.к. 18
2. Пусть q=1. S n =1+1+1+…+1= n,. Значит, ряд n расходится. 3. Пусть q =-1. , ряд расходится. 4. Пусть < 1. S n = 0 def ряд сходится. . 19
Объединяя случаи 1-4, можно записать: , расходится , сходится,. 2.1.Знакопостоянные и знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Опред. ( знакоположительного ряда). Ряд называется знакопостоянным, если 20
все члены этого ряда имеют один и тот же знак. Опред. ( знакоположительный ряд). Числовой ряд называется знакоположительным, если все члены этого ряда больше a n >0. Теорема 1. (первый признак сходимости) Пусть даны ряд (1), ряд (2) со знакоположительными членами, такими что, начиная с некоторого N, выполняется неравенство n >N, a n ≤ b n (3). 21
Тогда: Из сходимости ряда (2)→сходимость ряда (1). Из расходимости ряда (1)→ расходимость ряда (2). Доказательство самостоятельно. Теорема 2. (второй признак сходимости рядов со знакоположительными членами). Пусть даны ряд (1), ряд (2) со знакоположительными членами. Тогда, если существует конечный 22
, то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство самостоятельно. 2.2. Признаки Даламбера, Коши. Теорема 1. (Признаки Даламбера). Пусть дан ряд (1), a n ≥0 со знакоположительными членами. Если существует конечный, то 23
При 0 ≤ l<1 ряд (1) – сходится. При 1<l ряд (1) – расходится. При l = 1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. Доказательство самостоятельно. Признак Коши. Теорема 1. (признак). Если для знакоположительного ряда (1), a n ≥ 0 существует конечный предел , то 24
При 0 ≤ l<1 ряд (1) – сходится. При 1 > l ряд (1) – расходится. При l = 1 признак Коши не дает ответа о сходимости (расходимости) ряда. Доказательство самостоятельно. Замечания: 1), при любом α, где α - конечное число. 2) Если по признаку Даламбера . 25
