Часть 2 Геометрия в пространстве
Подобно тому, как на плоскости Oxy уравнение F(x,y)=0 определяет линию, так и уравнение F(x,y,z)=0 определяет в пространстве некоторую поверхность как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Вывод уравнения сферы радиуса R c центром в точке Сфера – это геометрическое место точек, равноудаленных от центра. Вычислим расстояние от произвольной точки M(x,y,z) до центра Приравняем его радиусу R и возведем в квадрат - уравнение сферы.
Уравнения плоскости. 1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Заданы: точка и нормальный вектор Уравнение плоскости : 0 х y z Q n Плоскость Q определена единственным образом, если задана одна точка и вектор Q. Вектор Q называют нормальным вектором. Необходимое и достаточное условие того, что точка М принадлежит плоскости Q. Пусть точка Тогда
Раскроем скобки в уравнении плоскости, проходящей через данную точку (полученном ранее) : Обозначим Получим - общее уравнение плоскости
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Решение Ответ :
2. Общее уравнение плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют координаты нормального вектора: Теорема. Всякое уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z вида (1) задает плоскость в пространстве и наоборот, всякая плоскость в пространстве может быть задана уравнением с тремя переменными x,y,z вида (1). Q Q
3. Исследование общего уравнения плоскости. 1. Коэффициент D=0 ( рис. 1 ) 2. Коэффициент A=0 (рис. 2) 3. Коэффициент B=0 (рис. 3) 4. Коэффициент C=0 (рис. 4) x y z O x y z O x y z O x y z O Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис.4 Q Q Q Q
5. Коэффициенты A=B=0 (рис. 5) 6. Коэффициенты A=C=0 (рис. 6) 7. Коэффициенты B=C=0 (рис. 7) x y z O x y z O x y z O Q Q Q Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
8. Коэффициенты A=B=D=0 9. Коэффициенты A=C=D=0 10. Коэффициенты B=C=D=0 x y z 0 Координатные плоскости
Взаимное расположение плоскостей в пространстве. 1. Условие параллельности плоскостей. 2. Условие перпендикулярности плоскостей.
Линию,в том числе и прямую, будем рассматривать как пересечение двух поверхностей. Если эти поверхности заданы уравнениями в виде, то линия пересечения определяется системой уравнений :
Рассмотрим линию, определяемую системой уравнений
Уравнения прямой в пространстве. 1. Общее уравнение прямой. Аксиома: линия пересечения двух плоскостей – прямая. l l : (2) Теорема. Система уравнений (2) определяет прямую в пространстве тогда и только тогда, когда коэффициенты не пропорциональны коэффициентам Система уравнений (2) называется общим уравнением прямой.
2. Канонические уравнения прямой. 3. Параметрические уравнения прямой. l l : Пусть точка Тогда
Пусть прямая L проходит через две заданные точки : Тогда за ее направляющий вектор можно взять Получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки :
Даны две точки, через которые проходит прямая : C оставить уравнения этой прямой. Решение. Подставляя в предыдущую формулу координаты точек, получим :
3. Условие параллельности прямых. 4. Условие перпендикулярности прямых.
Угол между двумя пересекающимися прямыми – это острый угол между ними. Даны направляющие векторы прямых : В координатной форме написать самостоятельно.
5. Условие параллельности прямой и плоскости. 6. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. l Q l Q
Угол между прямой и плоскостью
Найти угол между прямой и плоскостью
