Бірден бастап n -ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісін n факториал деп атаймыз және ол n! символымен белгіленеді. n !=1·2·3…· n 1-ескерту. 0! = 1 2-ескерту. n! =(n-1)!·n=(n-2)!·(n-1)·n Факториал
0 != 1 1 !=1 2!=1·2 3!=1·2·3 4!=1·2·3·4 5!=1·2·3·4·5 Мысал
1- мысал: 5!х=8! =6*7*8=336 2-мысал: =42 Факториалы бар теңдеулер
Берілген n элементтен бір бірінен құрамы немесе орналасу ретімен өзгеше болатын m элементтер таңдамасын n элементтен алынған m элементті қайталанбайтын орналастыру деп атайды. Қайталанбайтын орналастыру А Ә А Б Е Ә
n әртүрлі элементтердің m элементтерінен тұратын әртүрлі қанша комбинация құрастыруға болады? Мұнда әрбір комбинациялар бір бірінен кем дегенде бір элементімен немесе сол элементтердің әр түрлі орналасуымен өзгешеленеді. 1-мысал
Бірінші элементті n элементтер арасынан n тәсілмен таңдап алуға болады. Екінші элемент (n -1) тәсілімен таңдалады, үшінші элемент (n -2) тәсілімен таңдалады. Дәл осылай m элементтен тұратын комбинацияның санын көбейту ережесін пайдаланып n(n-1) (n-2)( n-3)...( n- (m-1)) тәсілмен таңдауға болатынын көреміз. Факториалды қолдану арқылы, мұны былай жазуға болады: Шешуі
былай белгіленіп, мына формуламен есептелінеді: Қайталанбайтын орналастыру (1)
1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанбайтын қанша а) екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға болады? 2- мысал
1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанбайтын қанша а) екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға болады ? а) екі таңбалы сандар саны – 5 элементтен 2 -ден алынған қайталанбайтын орналастырулар болады, онда (1) формула бойынша Шешуі =
1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанбайтын қанша а) екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға болады ? б ) үш таңбалы сандар саны – 5 элементтен 3 -тен алынған қайталанбайтын орналастырулар болады, онда (1) формула бойынша Шешуі =
1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанбайтын қанша а) екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға болады ? в ) төрт таңбалы сандар саны – 5 элементтен 4 -тен алынған қайталанбайтын орналастырулар сан алуға болады. Шешуі
1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанбайтын қанша а) екі таңбалы, үш таңбалы, төрт таңбалы, бес таңбалы сандар құрастыруға болады ? г ) бес таңбалы сандар саны да тең болады. Шешуі
25 орынға 4 адамды неше тәсілмен орналастыруға болады? 3-мысал
(1) формуласы бойынша n=25, m=4, онда тәсілмен орналастыруға болады. Шешуі
Егер бір таңдамада бір элемент 2, 3, …n рет қайталанса, онда оны п элементтен m элементті қайталанатын орналастырулар деп атайды. Оны былай белгілеп, мына формула бойынша есептейді : Қайталанбалы орналастырулар
1, 2, 3, 4, 5 цифрлар арқылы цифрлары қайталанатын неше үш таңбалы сан құрастыруға болады? Шешуі: = 4-мысал
Егер қайталанбайтын орналастыру формуласында m= n болса, онда - қайталанбайтын алмастыру деп аталады. Қайталанбайтын алмастыруды Р п арқылы белгілейді және мына формула арқылы есептеледі: Қайталанбайтын алмастыру (перестановка) =n! (3)
а) 2, 3, 4 цифрлары арқылы қанша үш таңбалы сан жазуға болады. б) 2, 3, 4, 7 цифрлары арқылы қанша төрт таңбалы сан жазуға болады. Санды жазғанда цифрлар қайталанбайды. Мысал
а ) (3) формуланы пайдалану арқылы Р 3 =3!=1·2·3=6 үш таңбалы сан бар екенін көруге болады. б ) (3) формула бойынша Р 4 =4!=1·2·3·4=24 төрт таңбалы сан бар екенін көреміз. Шешуі
k элемент берілсін. Бірінші элемент n 1 рет қайталансын, екінші элемент n 2, …, к-шы – n к рет қайталансын n 1 +n 2 +…+n k = n. Егер берілген элементтер әр түрлі болса, онда алмастыру саны n!- ға тең болар еді. n элементтердің ішінде қайталанатын элементтері бар алмастырудың саны n! –дан n 1 ! n 2 ! …n к ! есе кем болады. Сонда қайталанатын алмастырудың саны мына формула бойынша есептеледі Қайталанатын алмастыру = (4)
М, Е, К, Е, М, Е. әріптерінен алмастыру санын табыңыз. Шешуі: Мұнда М әрпі 2 рет қайталанады, яғни n 1 =2, Е әрпі 3 рет қайталанады, яғни n 2 = 3 және К элементі үшін – n 3 =1. n=n 1 +n 2 +n 3 = 2+3+1=6. Сонымен (4) формула бойынша қайталанатын алмастыру Р 3,2,1 = 5- мысал
№1, №2, №3, №4 нөмірлі 4 өнеркәсіп бөлімшесіне 10 маманды сәйкесінше 1, 2, 3, 4 мамандар баратындай неше әдіспен бөлуге болады? 6-мысал =
Мұнда n= 10, n 1 =1, n 2 =2, n 3 =3, n 4 =4, онда (4) формула бойынша әдіспен 10 маманды 4 өнеркәсіп бөлімшесіне бөлуге болатынын есептейміз. Шешуі
