Формулы для вычисления площадей различных треугольников
Площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. А S = ½ ab С В D b a
Площадь любого треугольника. А a B C D ha Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то площадь такого треугольника можно найти, как половина произведения двух сторон на синус угла между ними. С B A ɣ c a D h а b
Площадь треугольника через r -радиус вписанной окружности. Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. А B C O S= ½( a+b+c )r r
Площадь треугольника через R -радиус описанной окружности Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности. A B C O R
I формула Герона B C A b с a
Доказательство: По теореме косинусов можно записать: Т.К. то ч.т.д.
Герон Александрийский – греческий учёный, работавший в Александрии,(даты рождения и смерти неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ). Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. В "Метрике" даны правила и формулы для точного и приближённого расчёта различных геометрических фигур, например формула Герона для определения площади треугольника по трём сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближённого извлечения квадратных и кубических корней. В основном изложение в математических трудах Герона догматично – правила часто не выводятся, а только выясняются на примерах. Герон занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой.
II формула Герона B C A
Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны треугольника а,b,с, то запишем ее в виде: C c b B a A
Найти площадь треугольника со сторонами Решение: Задача: А В С
Формулы медиан треугольника AD- медиана. Ч.Т.Д. C А B b a c D
C C C C C C C C C C C C D B A h c D D B D B D A B D A B D C A B D h c C A B D
Площадь треугольника в системе координат Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B (4;-2) C ( 2;18) Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат. Найдем площадь треугольника по II формуле Герона.. Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос. А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула. 6 -2 0 4 18 y x
Если предположить, что х 1 =у 1 =0, то получится еще более простая формула: Вывод этой последней формулы приводится ниже. Применим эту формулу к нашему примеру. 4-0 2-0 4 2 S = ½ = ½ = ½ (48+ 16)= 32. -2-6 18-6 -8 12 Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А( х 1 ; у 1 ), В (х 2 ; у 2 ), С( х 3 ; у 3 ) s α φ β X Y
Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС с вершинами А (х 1 ; у 1 ), В( х 2 ; у 2 ), С( х 3 ; у 3 ). Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β А' B' = c x = c cos α = x 2 - x 1 (1) A’’B’’= c y = c sin α = y 2 -y 1 А ' C' = b x = b cos B= x 3 -x 1 (2) A’’C’’= b y = b sin B = y 3 -y 1 Прямоугольная система координат на плоскости: Пусть ф = угол САВ; очевидно ф = β – α По известной формуле тригонометрии получаем : S= ½ bc sin ф = ½ bc sin ( β – α ) = ½ bc(sin β cos α - cos β sin α ) = ½( b y c x- b x c y ) (3) Отсюда в силу (1) (2) имеем : S = ½ [( y 3 - y 1 ) ( x 2 - x 1 ) – ( x 3 - x 1 ) ( y 2 - y 1 )] (4) Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде : S = +/- ½ [( x 2 - x 1 ) ( y 3 - y 1 ) – ( x 3 - x 1 ) ( y 2- y 1 )] (4’) Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число. Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме : х 2 -х 1 х 3 -х 1 S = ½ у 2 -у 1 у 3 -у 1
Восемь формул для нахождения площадей различных треугольников.
с С α β Ɣ А В а в Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. α β Ɣ А С В а с в
Вычисление площади треугольника через все углы и радиус описанной окружности. A B C O
Вычисление площади треугольника через все углы и одну из сторон треугольника С α β Ɣ А В а в
Oa Ob Oc β a Ɣ b c α Вневписанная окружность- это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей.
Сайт http:// www.webmath.ru Вычисление площади треугольника Формула площади треугольника, онлайн сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7-ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.
