Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах функций ( суммы, произведения и частного ). Методы вычисления пределов на неопределенность( ).
Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности.
Случай 1. В
Случай 2. В
Случай 3. В В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а
Предел функции
Число В называется пределом функции в точке а, если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значение функции f (x) сколь угодно мало отличается от В.
Теорема 1. Предел суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:
Теорема 2. Предел константы равен самой этой константе.
Теорема 3. Предел произведения 2-х функций равен произведению их пределов, если последние существуют:
Теорема 4. Предел отношения 2-х функций равен отношению) их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от 0 :
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
Теорема 6. Предел степени переменного равен той же степени предела основания:
Вычисление предела : начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:
Примеры
Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.
Раскрыть соответствующую неопределенность - это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения, что, однако не всегда просто.
В большинстве случаев, чтобы раскрыть неопределенность вида, достаточно числитель и знаменатель дроби разделить на множители, и затем сократить на множитель, приводящий к неопределенности. Правило № 1
Пример №1: Разложим числитель и знаменатель на множители:
Пример № 2:
Чтобы раскрыть неопределенность данного вида, зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность (или иррациональности) из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности. Правило № 2
Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.
26
Основные правила раскрытия неопределенностей вида В процессе вычисления пределов функций могут встретиться разные случаи :
Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке.
Бывают неопределённости вида Чтобы раскрыть неопределенность вида, надо числитель и знаменатель дроби почленно разделить на переменную в наивысшей степени.
Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени
Замечание : если в числителе и знаменателе многочлены одной степени, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если же разной степени, но предел равен 0 или Например:
При раскрытии неопределенности вида нужно числитель и знаменатель одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или. Например:
Раскрытие неопределенности Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.
Упражнения:
