Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 336 с. Урок 1.
ввести понятие предела последовательности; рассмотреть свойства сходящихся последовательностей.
Кратко последовательность обозначают символом {Х n } или (Х n ), при этом Х n называют членом или элементом этой последовательности, n —номером члена Х n. Числовая последовательность —это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел Х n, n € N, называют множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.
Множество значений последовательности {(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1, а множества значений последовательностей { n ² } и {1/n} — бесконечны. Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Рассмотрим две числовые последовательности: : 2, 4, 6, 8, 10, …,,…; : 1,,,,, …, … Изобразим члены этих последовательностей точками на координатных прямых. Обратите внимание как ведут себя члены последовательности.
Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет.
Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r - положительное число. Интервал (a-r, a+r ) называют окрестностью точки a, а число r - радиусом окрестности. Геометрически это выглядит так:
Теперь можно перейти к определению точки «сгущения», которую математики назвали « пределом последовательности ». Например: (-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.
Определение 2. Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут:. Читают: стремится к. Либо пишут:. Читают: предел последовательности при стремлении к бесконечности равен.
Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Теорема 1 Если последовательность { X n } является возрастающей(или неубывающей) и ограничена сверху, т. е. X n≤M для всех n, то она имеет предел. Теорема 2 Если последовательность { X n } является убывающей (или невозрастающей) и ограничена снизу, т. е. X n ≥ M для всех n, то она имеет предел.
Существует ли номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса, если 1. Решение.
Определение: Число a называют пределом числовой последовательности a 1 , a 2 , … a n , … если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство | a n – a | < ε. Условие того, что число a является пределом числовой последовательности a 1 , a 2 , … a n , …, записывают с помощью обозначения и произносят так: «Предел a n при n, стремящемся к бесконечности, равен a ».
Пример 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство: Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство: Пример 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство: Пример 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство: Пример 5 . Последовательность: – 1, 1, – 1, 1, …, заданная с помощью формулы общего члена a n = (– 1) n , предела не имеет. Предел числовой последовательности
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 336 с. Урок 2. .
Рассмотреть свойства пределов числовых последовательностей; Сформировать умения вычисления пределов.
Рассмотрим две последовательности a 1 , a 2 , … a n , …, и b 1 , b 2 , … b n , …. Если при существуют такие числа a и b , что и , то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Если, выполнено условие, то при существует предел дроби
Пример 6. Найти предел последовательности
Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней : Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем Ответ.
Пример 7 . Найти предел последовательности
Решение. Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем Ответ.
Пример 8 . Найти предел последовательности
Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю: : Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.
Пример 9. Найти предел последовательности
Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов». .
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем Ответ.
Пример 10. Найти предел последовательности
Решение. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство , получаем Ответ. 1.
1. Запишите окрестность точки радиуса в виде интервала, если: 2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал: 3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса, если:
Существует ли номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса : 2. Постройте график последовательности и составьте, если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
3. Найдите - й член геометрической прогрессии, если: 4. Вычислить:
Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.
Итог урока. - Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела числовой последовательности, правилами вычисления пределов последовательностей.
