Умножение вектора на число Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9" Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
Прежде, чем ввести еще одно действие – умножение вектора на число, обратимся к примеру. Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т.е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. ТАКСИ v 2v -2v Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором v, то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление такое же, как у вектора v, а длина в 2 раза больше, и обозначить этот вектор 2 v. Скорость третьего автомобиля изобразиться вектором, противоположным вектору 2 v, т.е. вектором -2 v. Естественно считать, что вектор 2 v получается умножением вектора v на число 2, а вектор -2 v получается умножением вектора v на число -2. Этот пример показывает каким образом следует вести умножение вектора на число и что при умножении получается вектор.
Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и сонаправлены при и притивоположно направлены при. a k a b a k k>0 b k<0 a 3 a 1 a 1 2 - 2 a
Умножение вектора на число. a b 2b 2b b b 2b 2 = 2 a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 2 1 =
Умножение вектора на число. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. o a o = Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. o o k = Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. a k a ka a - 2 a - a 1 2 1 a 1 2
A B C D N M R E S F H J K L Z Q V T Y U Назовите вектор, который получится в результате умножения. I O P X G
XT = XT х -4 4 1 – 4 3 – 0 СК = JO х A B C D N M R E S F H J K L Z Q V T Y U I O P X G JO = CK х XD = CK х NN = XD х ХТ = XD х х не существует 1 TX = XT х -1
2 ВК = ОК х 3 A C O K T B О – точка пересечения медиан треугольника. 3 1 – К O = В K х ОВ = КО х
х DO = KF –4 A C 7 T B AC = T В х 3 T В = 7 AC = 3 O D K F 10 2,5 DO = 10 KF = 2,5 7 3 TB = AC х 3 7 KF = DO х 4 1 –
х D S L K SD = LK Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK 1,25 A C T B ТВ = АС х Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС -0, 7 5
BC = DA 8 В С ABCD – трапеция. А D 10 х –0,8 DA = BC х – 8 10
– 3 8 В С ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3 А D BS = DA х – 8 3 S х DA = BS
Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых, и любых чисел, справедливы равенства: a b b k l 1 2 3
B O a Рисунок иллюстрирует сочетательный закон. Представлен случай, когда k = 2, l = 3. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон 1 B O A O В = 2OA = 2( 3 ) a a a a O В = 6 a a a = (2 3 ) a a a a
B Рисунок иллюстрирует первый распределительный закон. Представлен случай, когда k = 3, l = 2. O a Первый распределительный закон 2 A ka l a OA = ka ; AB = la (k+l)a = ka + la OB = (k+l)a = ka + la
O a Второй распределительный закон 3 A k (a + b) = ka + kb Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон. На рисунке, коэффициент подобия ОАВ ОА 1 В 1 k A 1 B 1 B b a+b OA = ka k(a+b) kb AB = OB = ka+kb OB = OA + AB = С другой стороны, Таким образом, k(a+b) ka+kb =
№ 781 Пусть х = m + n, y = m – n Выразите через и векторы m n 2х – 2у 2х + у 2 1 –х – у 3 1
Задача Построить вектор С А В
Задача Построить вектор С А В
Задача Построить вектор. С А В = АВС D – параллелограмм. D CA AC
Построить вектор. С А В D AC Задача АВС D – параллелограмм.
B Точка С – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка плоскости. Доказать, что Задача A O O А + АС O С = O В + ВС O С = + 2 O С = ОА + ОВ + АС + ВС 0 ( ) 2 O С = ОА + ОВ : 2 O С = (ОА + ОВ) 1 2 C
2 NM = NB + NA + АС + В M + CM 0 ( ) A NB + BM NM = NM = + 2 NM = AC : 2 NM = AC 1 2 Задача Докажите теорему о средней линии треугольника. В С N M NA + A С + CM 0 ( ) NM = AC 1 2 NM AC
Теорема Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Дано: трапеция АВС D, MN - средняя линия Доказать:
2 NM = NB + NA + B С + AD + CM +DM 0 ( ) Правило многоугольника 0 ( ) A NM = NM = + : 2 В С N M NA + AD + DM D NB + B С + СМ 2 NM = В C + AD NM = (BC+AD) 1 2 NM = BC+AD 1 2 NM BC AD; Доказать:
Задача АВС D – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1, К – середина DC, АВ =, AD =. Выразите через векторы и векторы: С А В a b a D b a b E K AE AK KE
АВ - СВ = - ОА - РО = MN - RN = - KM + KM = - KM + OM = А S - С S = - MN - LM = RP - RP = - KZ + KZ = - ED + KD = MK + К O + OP + PR = SK + К V + VP + PM =
