К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А( a; b ) на расстояние R. y 0 х А R М (x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [ F 1 F 2 ]
b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение эллипса
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА Из уравнения эллипса получаем: Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x = a, y = b. Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy ). Центр симметрии эллипса называют центром эллипса.
функция возрастает при x (– a ; 0) ( y > 0) , убывает при x (0; a ) ( y < 0) , экстремум (максимум) в точке x = 0 , y (0) = b ; кривая всюду выпуклая.
y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокусное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса ( ε = 0 – окружность)
Для любой точки М эллипса отношение расстояния от нее до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е. Директрисы эллипса – это прямые
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0), а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х - 5 5 - 3 3
Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2
b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид:
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ 1) Т очек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x = a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy ). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox ) называют действительной (или фокальной ) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy ) – мнимой осью. 3) Из уравнения гиперболы получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе:
а) D ( y ) = (– ;– a ] ∪ [ a ; + ) , y ( a ) = 0 ; б) линия имеет асимптоты Напомним: П рямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y = f ( x ) имеет в тех точках разрыва II рода функции y = f ( x ), в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y = f ( x ) имеют уравнение y = k 1,2 x + b 1,2, где
в) функция возрастает при x ( a ; + ) ( y > 0) , убывает при x ( – ; – a ) ( y < 0) , экстремум ов нет ( критические точки x = 0 D ( y ) и x = a – граничные) ; г) кривая всюду выпуклая.
y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) а - а -b b Для гиперболы справедливо: r 1 r 2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы
Директрисы гиперболы – это прямые
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе
Каноническое уравнение гиперболы: 0 y х
y 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до прямой:
y 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы:
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ 1) П арабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox ). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе: а) D ( y ) = [0; + ) , y (0) = 0 ; б) асимптот нет (проверить самим); в) функция всюду возрастает; г) кривая всюду выпуклая.
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Общее уравнение кривой называется пятичленным, если 2Bxy =0: Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:
y 0 х - 1 1 5 5 4 4 y’ x’ Перенесем начало координат в точку (1; -1), получим новую систему координат:
Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C, то
