Общее уравнение кривой второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола
К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Они задаются уравнением второй степени относительно x и y : Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А( a; b ) на расстояние R. y 0 х А R М (x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [ F 1 F 2 ]
b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение эллипса
y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокальное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса ( ε = 0 – окружность)
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0), а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х - 5 5 - 3 3
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2
b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид:
y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) а - а -b b Для гиперболы справедливо: r 1 r 2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе
Каноническое уравнение гиперболы: 0 y х
y 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до прямой:
y 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы:
Составим из коэффициентов уравнения два определителя: Дискриминант старших членов уравнения Дискриминант уравнения Эллипс Точка Гипербола Пара пересекающихся прямых Парабола Пара параллельных прямых
Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy =0: Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:
y 0 х - 1 1 5 5 4 4 y’ x’ Перенесем начало координат в точку (1; -1), получим новую систему координат:
Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C, то
