Опр.: Упорядоченные координатные оси, не лежащие в одной плоскости и имеющую одну общую точку, называются косоугольной системой координат в пространстве. Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то косоугольную систему координат называют прямоугольной системой координат Декарта в пространстве и обозначают ху z. Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в избранной системе координат называется трехмерным пространством.
z z 1 P (х 1; у 1 ; z 1 ) у 1 у х 1 х Элементы системы координат : координатные плоскости Оху, Оу z, Ох z ; оси координат : Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат; О z – ось аппликат. Точка О – начало координат; упорядоченная тройка чисел (х; у; z ) – координаты произвольной точки Р. у у 1 Р(х 1 ; у 1 ) 0 х 1 х Частным случаем является система координат на плоскости, например координатная плоскость Оху.
у Р (х 1 ; у 1 ) r φ 0 А х Точка на плоскости может быть задана полярной системой координат, при этом положение точки Р описывается углом поворота положительной полуоси Ох против часовой стрелки до положения луча ОР и расстоянием точки Р от начала координат. Из Δ АРО, где , имеем:
1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных координатах. Решение. r= Таким образом А 2) Задать точку плоскости В (0,5; π /4 ) в декартовых координатах. Решение. х 1 =0,5 cos π /6 =0,5 у 1 =0,5 sin π /6= 0,5 · 1/2. Таким образом В (0,25 ; 0,25)
Прямая на координатной плоскости может быть получена в результате пересечения произвольной плоскости Ах + Ву + С z + D = 0 и координатной плоскости. Составим уравнение прямой, принадлежащей, например, плоскости хОу. Эта прямая определяется системой двух уравнений:
Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение прямой на координатной плоскости, причем (А; В) является нормальным вектором этой прямой. n L Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению (*), называется прямой. у b - уравнение прямой в отрезках на осях а 0 L у L - уравнение прямой, М 1 (х 1 ;у 1 ) М 2 (х 2 ;у 2 ) проходящей через две точки
у L b φ 0 х L : у= k х+ b, где k = tg φ – уравнение прямой с угловым коэффициентом; L : у – у 1 = k ( х – х 1 ) – уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через т. М (х 1 ; у 1 ).
Пусть прямые заданы уравнением А 1 х + В 1 у + С 1 =0 и А 2 х + В 2 у + С 2 =0 Угол между этими прямыми найдем из формулы: Если прямые заданы уравнением с угловыми коэффициентами, то угол между ними находим по формуле:
y L 2 L 1 0 х Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: L 1 ||L 2, если или k 1 =k 2 L 1 L 2, если А 1 А 2 = -В 1 В 2 или k 1 k 2 = -1 φ
1. Определить острый угол между прямыми у = 3 х + 1 и у = -2 х – 5. Решение. Полагая k 1= 3 и k 2= -2 и применяя формулу (1), получим tg = -2–3/1+(-2) 3= -5/-5= 1, т. е. = /4= 0,785 рад. 2. Показать, что прямые 7 х + 3 у – 5 = 0 и 14 х + 6 у + 1 = 0 параллельны. Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем: у = -7/3 х +5/3 и у = -7/3 х +1/14. Угловые коэффициенты этих прямых равны: k 1 = k 2 = -7/3, т. е. прямые параллеьны. 3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти уравнения высот треугольника AD, BN и CM. Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС: k ВС = 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2. В силу перпендикулярности прямых AD и BC k AD = -1/ k ВС, т. е. k AD = ½. Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид: у –0= ½( х +5) или х –2 у +5= 0.
Общее уравнение линии второго порядка на плоскости : а 11 х 2 + а 22 у 2 + 2а 12 ху + а 10 х + а 20 у + а 00 = 0, где а 2 11 + а 2 12 + а 2 22 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из чисел а 11,а 12,а 22 не равно нулю. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
Каноническое уравнение окружности с центром в точке М(х 0 ;у 0 ) и радиусом R. Уравнение окружности с центром в начале координат Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
- фокальное расстояние, тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и r 1 + r 2 = 2 а (const); a>c.
Выразим r 1 =, r 2 =, тогда аналитическое уравнение эллипса примет вид: Обозначив, получим каноническое уравнение эллипса:
Эллипс – ограниченная кривая второго порядка. Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, а так же центр симметрии. А 1 А 2 - большая ось (ОА 1 - полуось), В 1 В 2 – малая ось (ОВ 1 - полуось). А 1, А 2, В 1, В 2 - вершины эллипса, причем - называется эксцентриситетом эллипса, ,т.е. 0 < <1 ; - характеризует: “ вытянутость эллипса, т.е. отклонение от окружности ”. =1, значит x 2 +y 2 = a 2, где а – радиус окружности
5. Прямые называются директрисами (направляющими) т.о. имеем:, где d 1 = Пример: Дан эллипс найти полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис.
Определение: Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
тогда фокусы будут иметь координаты F 1 (-c;0) и F 2 (c;0).
Выразим r 1 =, r 2 =, тогда аналитическое уравнение гиперболы примет вид: Обозначив, получим каноническое уравнение гиперболы:
Гипербола – неограниченная кривая второго порядка. Гипербола обладает центральной симметрией. А 1, А 2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а – действительная, 2 b – мнимая. Прямоугольник со сторонами 2а и 2 b называется основным прямоугольником гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты: Эксцентриситет гиперболы: причем Прямые - называется директрисами гиперболы причем
Примеры: Дана гипербола 16х 2 – 9у 2 = 144, найти: полуоси а и b ; фокусы; эксцентриситет; уравнения асимптот; уравнения директрис. 16х 2 – 9у 2 = 144 1. 2. 3. 4. 5.
Определение: параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки плоскости(фокус F) и фиксированной прямой (директриса d).
d – директриса параболы.
Выразим тогда аналитическое уравнение параболы примет вид: таким образом получим каноническое уравнение параболы :
Парабола – неограниченная кривая второго порядка, расположенная в правой или верхней полуплоскости. Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или ось ординат.
Пример: Установить, что уравнение у 2 = 4х – 8 определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы. у 2 = 4х – 8 Представим уравнение в каноническом виде: у 2 = 4(х - 2) вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две единицы. А(2;0) – координаты вершины параболы. 2р = 4 р = 2 – параметр параболы. 3. - уравнение директрисы параболы.
