Взаимное положение прямых Теорема о проецировании прямого угла без искажения Плоскость. Способы задания плоскости. Плоскости частного положения (уровня и проецирующие) Следы плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости. Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций.
Прямые между собой могут быть: Параллельны Пересекаться скрещиваться
Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны. х
Пересекающиеся прямые Если прямые пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются и проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.
Если не выполняются условия параллельности или пересечения, прямые называются скрещивающимися
Например, в случае а) на П2 проекции точек 1 2 ≡2 2, а на плоскости П1 не совпадают. Прямая n находится дальше от плоскости П2 (это видно на горизонтальной проекции, т.к. (.)2 1 имеет большую координату У, чем (.)1 1 ). Следовательно, на П2 видима прямая n. 1 2 ≡2 2 1 1 2 1 ° ° ° ° ° ° а) б) Видимость прямых определяется с помощью конкурирующих точек. Та точка видима, которая находится дальше от плоскости проекций (на эпюре- дальше от оси) 1 2 ≡2 2 1 1 2 1 ° ° 3 2 3 1 ≡4 1 ° 4 2
В пространстве расположим прямой угол АВС параллельно плоскости П1, он отразится на П1 без искажения, т.е. L А1В1С1=90 ° Теорема о проецировании прямого угла без искажения А В С А 1 В 1 С 1 П1
Поднимем отрезок ВС за вершину С. Проекция на П1 (В 1 С 1 ) сократится, но А 1 В 1 ┴ В 1 С 1 Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости, а вторая не перпендикулярна этой плоскости, прямой угол проецируется на данную плоскость без искажения Теорема о проецировании прямого угла без искажения А В С А 1 В 1 С 1 П1 С* С 1 *
h 2 h 1 h ║ П 1 h 2 ║ ох, если АВ ┴ ВС А 1 В 1 ┴ В 1 С 1 f ║ П 2 f2 ║ ох если К L ┴ LN, К 2 L 2 ┴ L 2 N 2
Плоскость задается движением прямой образующей линии « n » по прямой направляющей линии « m » параллельно заданному направлению « S »
α α 1
α α 1
α α 1 α 2 α 1 b b 1 b 2 b 1
β β 1 β 2 β 1
Следом плоскости называется линия пересечения данной плоскости с какой-либо плоскостью проекций Рп 1 - горизонтальный след плоскости Рп 2 - фронтальный след плоскости Рп 3 - профильный след плоскости
Следы плоскости можно построить по одноименным следам двух прямых, лежащих в этой плоскости. Например, если плоскость задана двумя пересекающимися прямыми 1-2 и 3-4, определяем фронтальные и горизонтальные следы этих прямых. Соответственно, фронтальный след плоскости пройдет через проекции точек 1 2 и3 2, а горизонтальный след плоскости – через горизонтальные проекции точек 4 1 и2 1
α α 2 α 3 α 2 α 3 α 1 Горизонтальной плоскостью уровня называется плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций. На плоскость П1 она проецируется в неограниченное множество точек, на П2 и П3 – в прямую, параллельную осям ОХ и ОУ соответственно α 1
β β 1 β 3 β 3 β 1 β 2 Фронтальной плоскостью уровня называется плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций. На плоскость П2 она проецируется в неограниченное множество точек; на П1 – в прямую, параллельную оси ОХ ; на П3 – в прямую, перпендикулярную оси ОУ β 2
Профильной плоскостью уровня называется плоскость, параллельная профильной плоскости проекций. На плоскость П3 она проецируется в неограниченное множество точек, на П2 и П1 – в прямую, перпендикулярную оси ОХ γ γ 2 γ 1 γ 2 γ 1 γ 3 γ 3
α α П2 α 1= α П1 α П2 α 1≡ α П1 Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей плоскостью. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей плоскостью. На П1 она проецируется в линию, на П2 –в неограниченное множество точек.
Фронтально-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций. На П2 она проецируется в линию, на П1 –в неограниченное множество точек. Фронтальный след этой плоскости совпадает с проекцией плоскости на П2 ( β 2 = β П2) β β П1 β 2 = β П2 β 2 ≡ β П2 β П 1 β 1
γ γ П1 γ 3 = γ П3 γ П2 γ П2 γ П1 γ П3 ≡ γ 3 Профильно-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций. На П1 иП2 она проецируется в неограниченное множество точек. Проекция на П3 совпадает с профильным следом плоскости ( γ П3 = γ 3 ). γ 1
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости. b b 1 b 1 b 2
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости n ║ c n 1 ║ c 1 n 2 ║ c 2 1
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей данной плоскости b 1 b 2 b 1 b
h h 1 h 2 α h 1 h 2 h 0 h ║ h 0 ; h ║ h 1 ; h 1 ║ h 0 ; h 2 ║ ох b 2 b 1 α П2 α П1 ≡
a 2 b 2 a 1 b 1 α α П2 α П1
х п2 п1 х α α п2 α п2 α п1 ≡ α 1 α п1 ≡ α 1 Задана горизонтально-проецирующая плоскость α
х п2 п1 х α α п2 α п2 α п1 ≡ α 1 ≡ h1 α п1 ≡ α 1≡ h1 Зададим в плоскости α горизонталь h h h2 h2
х п2 п1 х α α п2 α п2 α п1 ≡ α 1 ≡ h1 α п1 ≡ α 1 ≡ h1 Зададим в плоскости α фронталь f h h2 h2 f f2 ● f1 f2 ● f1
Дана плоскость Р Определить угол наклона плоскости Р к плоскости проекций П 1 Пусть [ А В ] – линия наибольшего наклона плоскости Р Тогда [ А В ] ┴ РП 1 [ MN ] ║ П 1 → [ А В ] ┴ [ MN ] [ МВ ] ║ П 1 ; ∟ МВА = ∟ М 1 В 1 А 1 = 90 ° [ А 1 В 1 ] ┴ [ M 1 N 1 ] ; α = ∟ В А В 1 Р Р П1 α 90 ° 90 °
Угол наклона плоскости общего положения к какой-либо плоскости проекций равен углу между натуральной величиной линии наибольшего наклона плоскости и ее проекцией на заданную плоскость проекций.
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 h2 Решение: 1 2 °
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 h2 1 2 ° ° 1 1 h1
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 h2 1 2 ° ° 1 1 h1 О 1 ° ° Л.н.н.
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 h2 1 2 ° ° 1 1 h1 О 1 О 2 ° °
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 h2 1 2 ° ° 1 1 h1 О 1 О 2 ° ° Δ z
х А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 h2 1 2 ° ° 1 1 h1 О 1 О 2 ° ° Δ z Δ z Н.в. [ ВО ] α
