![Далее по линиям связи, перпендикулярно к оси Х1,4 определяем положение проекции О 1 и, соединив А 1 и О 1, получим [ А 1 О 1 ]](https://s0.showslide.ru/s_slide/4cd2f424201801e5049a38305eba01c5/2ab7c4b5-9766-4e2a-8a0e-005aba2b2602.jpeg.webp "Лекция 4")
Методы преобразования плоскостей проекций. Общие положения Замена плоскостей проекций.
Методы преобразования плоскостей проекций применяются для облегчения решения какой-либо поставленной задачи. В пространстве с объектом ничего не происходит. Все преобразования выполняются только на комплексных чертежах.
Все методы можно разделить на две группы: 1) Объект жестко зафиксирован в пространстве. Вокруг него меняется исходный базис (плоскости проекций П1 и П2) на новый базис так, чтобы объект отразился в удобном для решения задачи положении (метод замены плоскостей проекций). 2) Исходный базис (П1 иП2) жестко зафиксирован в пространстве. Объект перемещается (вращается) так, чтобы он отразился на исходные плоскости П1 и П2 в удобном для решения задачи положении (методы: вращения и плоско- параллельного перемещения).
Независимо от метода преобразования, в задаче выделяется главный элемент, с которым и выполняются преобразования. Все остальные элементы (объекты) задачи являются зависимыми от главного и преобразуются вместе с ним. Главным элементом может быть прямая или плоскость
Типовые задачи: Главный элемент – прямая Прямую общего положения преобразовать в линию уровня L→ L‘ ‖ П 2) Прямую общего положения преобразовать в проецирующую L→ L‘‘┴ П
Главный элемент – плоскость 3) Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую α → α ‘ ┴ П 4) Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня α → α ‘‘ ‖ П
А х А х А х А х Сущность метода замены плоскостей проекций состоит в том, что предмет остается неподвижен, а плоскости проекций принимают положение, удобное для решения задачи. Например, если вместо плоскости П2 взять плоскость П4, то высота точки (координата Z а) отразится одинаково на обеих вертикальных плоскостях. 1
Отрезок проецируется в натуральную 1,4 величину в том случае, если он параллелен плоскости проекций. Если вместо П2 поставим плоскость П4, параллельно АВ, то на П4 отрезок проецируется в натуральную величину [ АВ ] ║ П 4→ А 1 В 1 ‖ Х 1,4 α 1,2 Х 1,4
Отрезок прямой АВ- общего положения, поэтому его проекции на П1 и П2 искажены. Для нахождения натуральной величины отрезка [ АВ ] и угла его наклона к П1 надо преобразовать прямую в прямую уровня (во фронталь), для чего необходимо заменить плоскость П2 на новую П4, параллельную АВ [ АВ ] ║П 4 → [ А 1 В 1 ] ║х 1,4 [ А 4 В 4 ] →Натур. величина [ АВ ] Угол α является углом наклона прямой к плоскости П1
Для нахождения натуральной величины отрезка [ АВ ] и угла его наклона к П2 надо преобразовать прямую АВ в прямую уровня (в горизонталь), для чего необходимо заменить плоскость П1 на новую П4, параллельную АВ [ АВ ] ║П4 → [ А 2 В 2 ] ║Х 2,4 Отбрасывая плоскость П1, забираем координаты точек Уа и Ув и откладываем их на новой плоскости от оси Х 2,4 [ А 4 В 4 ] → Натур. величина [ АВ ] Угол β является углом наклона прямой к плоскости П2
Расстояние от точки А до прямой ВС = перпендикуляру, опущенному из точки А к прямой ВС. Решение: Главный элемент – прямая. Необходимо прямую преобразовать в проецирующую (2 типовая задача).
Для этого заменяем плоскость П2 на П4, которую ставим параллельно прямой ВС (на чертеже Х 1,4 ║ [ В1С1 ] ) Отбрасывая плоскость П2, забираем высоты точек В ( Z в) и С ( Z с ) и откладываем их на новую плоскость П4 по линиям связи от оси Х 1,4 [ В4С4 ] = н.в. [ ВС ]
Точка А также проецируется на новую плоскость П4 Забираем высоту (.)А → ( Z А ) с плоскости П2 и откладываем от оси Х 1,4 по линии связи на П4 – получаем проекцию А 4 А 2 А 2
Для этого отбрасываем плоскость П1 и вместо нее берем плоскость П5, перпендикулярно к прямой ВС. Х4,5 ┴ [ В4 С4 ] Строим проекции прямой ВС и точки А на плоскость П5
Так как отбрасываем плоскость П1, забираем с нее информацию о удалении точек. Измеряем расстояния от В1, А1, С1 до оси Х1,4 и откладываем их на плоскости П5 от оси Х4,5, получаем соответственно проекции В5 ≡ С5, А5 (расстояния выделены желтым цветом)
Соединяем проекции точек А 5 и В 5 ≡ С 5. Получаем натуральную величину [ АО ] -расстояния от точки А до прямой ВС. Точка О является основанием перпендикуляра. В 5 ≡ С 5 ≡О 5
В задаче необходимо показать, как выглядят проекции отрезка [ АО ] на исходных плоскостях проекций: П1 и П2. Т.к. на П5 [ АО ] проецируется в натуральную величину, следовательно отрезок АО расположен параллельно к плоскости П5.Значит на П4 проецируется в прямую, параллельную оси Х 4,5. Через (.)А4 проводим прямую, параллельную оси Х 4,5 и определяем проекцию (.) О 4
![Далее по линиям связи, перпендикулярно к оси Х1,4 определяем положение проекции О 1 и, соединив А 1 и О 1, получим [ А 1 О 1 ]](https://s0.showslide.ru/s_slide/4cd2f424201801e5049a38305eba01c5/2ab7c4b5-9766-4e2a-8a0e-005aba2b2602.jpeg "Лекция 4")
Главный элемент Чтобы определить натуральную величину двугранного угла, необходимо преобразовать его таким образом, чтобы общее ребро ( линия пересечения двух плоскостей ) стало проецирующим. Тогда пространственный угол = плоскому углу DAC
В том случае, если общее ребро ВС двугранного угла – прямая общего положения, задача решается в два действия (вторая типовая: прямую общего положения преобразовать в проецирующую).
Ребро ВС двугранного угла считаем главным элементом ( г.э. ) Преобразовываем ребро [ ВС ] в прямую уровня. Вместо плоскости П2 возьмем плоскость П4, параллельную ВС [ ВС ] ║ П4 → Х1,4 ║ [ В1С1 ] → Далее определяем направление проецирования на плоскость П4 (линии связи из всех проекций точек идут перпендикулярно оси Х1,4
Определяем проекции точек на плоскости П4. Отбрасывая плоскость П2, забираем с нее информацию о высотах точек- Z А, Z D, Z В, Z С и откладываем по линиям связи соответствующих точек от оси Х 1,4 на П4
Соединим проекции точек А4-В4-С4- D4. Получим проекцию двугранного угла на П4 [ В4 С4 ] - н.в. главного элемента ( Г.Э.)
Вместо плоскости П1 возьмем плоскость П5 ┴ ВС. На чертеже новая ось Х4,5 ┴В4С4
Расстояния выделены желтым цветом. Получаем проекции точек А 5, В 5 ≡ С 5, D 5 Как видим, главный элемент ВС проецируется в точку
Чтобы определить угол наклона плоскости общего положения к плоскости проекций, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую (3 типовая задача). Плоскость перпендикулярна другой плоскости, в том числе плоскости проекций в том случае, если она содержит в себе прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Рассмотрим аксонометрическую модель. Плоскость Δ АВС является проецирующей по отношению к плоскости П2, т.к. горизонталь h, лежащая в плоскости Δ АВС перпендикулярна П2 h ∩ ∆ АВС h ┴ П 2 → ∆ АВС ┴ П 2 h 1
Чтобы определить угол наклона плоскости общего положения к плоскости проекций П1, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую по отношению к П2.
Задаем в плоскости Δ АВС горизонталь на любой высоте, например через (.) А. h 2 ‖ Х 1,2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)А и (.)1)
Вместо П2 ставим новую стену П4 h ┴ П4 → На чертеже: h 1 ┴ Х 1,4 h1
С П2 забираем высоты точек А,В,С (координаты Z А, Z в, Z с) и откладываем их от оси Х 1,4 на П4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х 1,4. h1
Плоскость Δ АВС проецируется на П4 в линию А 4 В 4 С 4 Угол α – угол наклона плоскости Δ АВС к плоскости П1
Чтобы определить угол наклона плоскости общего положения к плоскости проекций П2, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую по отношению к П1.
Задаем в плоскости Δ АВС фронталь на любом расстоянии от П2, например через (.) С. f 1 ‖ Х 1,2 → f 2 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)С и (.)1)
Вместо П1 ставим новую плоскость П4, которую располагаем перпендикулярно к фронтали f ┴ П4 → На чертеже: f 2 ┴ Х 2,4
С П1 забираем координаты удаления точек А,В,С от стены П2 (координаты У А, Ув, Ус) и откладываем их от оси Х 2,4 на П4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х 2,4.
Плоскость Δ АВС проецируется на П4 в линию А 4 В 4 С 4 Угол β – угол наклона плоскости Δ АВС к плоскости П2
Задача 6.3. (стр.31) Определить расстояние от точки А до плоскости Δ DBC методом замены плоскостей проекций. Решение: Кратчайшее расстояние от точки до плоскости – перпендикуляр, опущенный из точки А к плоскости Δ DBC. Сразу провести проекции перпендикуляра не сможем, т.к. он является прямой общего положения и деформируется (как и угол 90 ° ) при проецировании. Но, если плоскость Δ DBC преобразовать в проецирующую, то перпендикуляр из точки А на плоскость деформироваться не будет.
Задаем в плоскости линию уровня, например горизонталь h. h 2 ‖ Х1,2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.) D и (.)1)
. Заменим плоскость П2 на новую П4, перпендикулярную к горизонтали h ┴ П4 → h 1 ┴ Х 1,4 Построим проекции всех точек на П4 (линии связи проводим перпендикулярно новой оси Х 1,4
Забираем высоты точек с плоскости П2 (координаты Z ) и откладываем на плоскости П4 по линиям связи соответствую-щих точек от оси Х 1,4. Получаем проекции Δ D 4 B 4 C 4 (проецируется в линию) и (.)А 4
[ АО ] – расстояние от точки до плоскости. А 4 О 4 =н.в. 4
Операцию по замене плоскости П2 на П4 мы сделали для облегчения решения задачи. Необходимо показать, как выглядит расстояние в исходных проекциях (на П1 и П2). Т.к. на плоскость П4 отрезок [ АО ] проецируется в натуральную величину, значит он параллелен этой плоскости. Следовательно на П1 его проекция отразится параллельно оси Х 1,4 4
Определим проекции [ АО ] на П1 и П2: А 1 О 1 ‖Х 1,4 ; По линии связи с О 4 определяем положение проекции О 1 4
Определим проекции [ АО ] на П2: находим проекцию О 2 →высота точки О на П4 и П2 одинакова (размер координаты выделен желтым цветом) 4
Соединяем фронтальные проекции точек О 2 и А 2 – получим проекцию расстояния от точки до плоскости треугольника на П2 ( О 2 А 2 ) 4
Плоскость проецируется в натуральную величину, если она расположена параллельно плоскости проекций. Следовательно, выполняем 4 типовую задачу. Главный элемент- плоскость
Задаем в плоскости линию уровня, например горизонталь на любой высоте, например через (.) А. h 2 ‖ Х 1,2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)А и (.)1)
Вместо П2 ставим новую стену П4 h ┴ П4 → На чертеже: h 1 ┴ Х 1,4
С П2 забираем высоты точек А,В,С (координаты Z А, Z в, Z с) и откладываем их от оси Х 1,4 на П4 по соответствую-щим линиям связи, перпендикуляр-но оси Х1,4. Получаем проекции А 4,В 4,С 4
Плоскость Δ АВС проецируется на П4 в линию А 4 В 4 С 4
П1 →П5‖ Δ АВС На чертеже: Х 4,5 ‖ А 4 В 4 С 4
Построить проекции прямой призмы высотой 20 мм с основанием АВС
Решение: Зададим в плоскости линию уровня, например – горизонталь h 2 ‖ Х 1,2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (.)А и (.)1)
На чертеже новая ось Х 1,4 ┴ h 1
Соединяем проекции точек А 4 В 4 С 4. Плоскость треугольника проецируется в линию на П4
Отклад ываем н.в. ребер =20 мм
С 1 С 1 * ‖ Х 1,4
Отложим данный размер на плоскости П2 на линии связи с (.)В 1 * от оси Х 1,2 Получим проекцию точки В на П2- В 2 *
Вывод: Видима прямая А*С*
Вывод: На П2 видима В*С*
Рх Рх 1 Н.в. [ АО ] Плоскость «Р» задана следами. Чтобы определить расстояние преобразовываем плоскость в проецирующую, и опускаем перпендикуляр из проекции точки на след плоскости Р 4. [ АО ] – расстояние от точки до плоскости.
