2 касательная диаметр секущая х орда О линиях… Дуга окружности радиус
3 Если хорды р авноудалены от центра окружности, т о они равны Если диаметр д елит хорду пополам, т о он перпендикулярен данной хорде
4 Равные дуги стягиваются р авными хордами Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны О линиях в окружности…
5 Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды АК · КВ В Д А С К = С К · КД О линиях в окружности…
6 Центральный угол Вписанный угол Об углах…
7 Об углах в окружности… Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается А В О Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается АОВ = АВ АСВ = АВ А В С
8 Вписанный и центральный углы, опираются на одну дугу С А В О АСВ = АОВ А В О С Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой диаметр АСВ = 90° Об углах в окружности…
9 АСВ = АДВ Вписанные углы опираются на одну хорду, вершины – по одну сторону от хорды А В С Д Д В А С Вписанные углы опираются на одну хорду, вершины – по разные стороны от хорды АСВ + АДВ = 180° Об углах в окружности…
10 Теоремы об углах и не только… измеряется полусуммой заключенных между ними дуг А Д Е В С Угол между двумя пересекающимися хордами АЕД = ( АД+ ВС) Если из одной точки проведены две касательные, т о отрезки касательных равны между собой А В С АВ = АС
Теоремы об отрезках А М В Если через т. М проведены секущая, пересекающая Окр. в точках А и В, и касательная МК (К – т.касания ), то МА · МВ = МК ² К Если из т. М проведены две секущие, пересекающие Окр. в точках А и В, С и Д соответственно, то МА · МВ = МС · МД М В С Д А 11
12 Теоремы об углах р авен 180° минус величина дуги меньшей полуокружности, заключенной между касательными А М В Угол между касательными, проведенными из одной точки, АМВ = (180°- АВ) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги А В С АВС = АВ
13 Теоремы об углах А М В К Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг А В К М ( АВ- РК) АМВ= Угол между секущими, проведенными из одной точки, и змеряется полуразностью заключенных внутри него дуг Р ( ВК- АК) ВМК=
14 Проверь себя… Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен 40°. Вписанные углы окружности равны. Если вписанный угол равен 30°, то центральный угол равен 60°. Вписанный угол в два раза меньше центрального угла. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Если вершины вписанных углов, опирающихся на одну хорду, лежат по одну сторону от данной хорды, то эти вписанные углы равны. Ответы Нет Д а Нет Нет Нет Нет Да Да
15 Тренировочные задачи В А С О Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности) 110° А В О С
16 Тренировочные задачи Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности) 32° А В С Д А В С Д Угол ВДС = 24°
17 Тренировочные задачи В А С О Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности) 43 ° Д В О С Д А Угол ДВА = 120°
18 Тренировочные задачи А С Е О Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности) 70 ° Д В О С Д А 51° В
19 Зарядка для глаз Следите за точкой
20 Задача Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника АВС и стороной АС равен 45°. Найдите угол А треугольника АВС, если угол С равен 25 °. Ответ: 110 ° ; 20 °
21 Задача На стороне АВ угла АВС, равного 30° взята точка Д такая АД=2, ВД=1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и Д, и касающейся прямой ВС. Ответ: 1 ; 7
22 Задача Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом α при вершине А. Точка Д – середина гипотенузы. Точка симметрична точке С относительно прямой ВД. Найдите угол А В.
Пусть К – точка пересечения диагоналей вписанного в окружность четырехугольника АВСМ (АВ > СМ), угол МКС равен, а угол между прямыми АМ и ВС равен. Найти углы МВС и ВМА. Задача 23
Окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках P и Q, BP=CQ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. Задача 24
Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, А другую – в точках В и В1. Докажите, что А А1 II В В1. Задача 25
