![Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b]](https://s1.showslide.ru/s_slide/9fe1/7dec8821-14d2-45a0-b786-5fa23e085209.jpeg.webp "Решение задач по теме «Исследование функции с помощью производной»")
ГБОУ СПО «Сызранский медико-гуманитарныйколледж» Разработала: преподаватель математики Н.Л. Косырева
1. Промежутки монотонности 3. Наибольшее и наименьшее значение функции 2. Точки экстремума и значение функции в этих точках 4. Построение графика функции
Если производная функции y=f(x) положительна на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает Если производная функции y=f(x) отрицательна на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно убывает.
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1. f / (x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2. Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8 Решение:
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1. f / (x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2. Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 5 Решение:
Определение 1. Точку х=х 0 называют точкой минимума функции f (х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) > f(x 0 ) Определение 2. Точку х=х 0 называют точкой максимума функции f (х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) < f(x 0 ) Точки максимума и минимума объединяют общим термином – точки экстремума
Точки экстремума Стационарные точки Критические точки Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует Касательная в таких точках графика не существует Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ
Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [ a;b ] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. y = f(x) y x Ответ: 5 a b
Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка максимума функции f(x). Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума функции f(x). Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет. 10
Максимум : - 3; 6 Минимум ; 3 Возрастает : (-9;-3) и (3;6) Убывает : (-3;3)
f(x) f / (x) x На рисунке изображен график производной функции у = f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 7 3 0 -5 Найти точки, в которых f / (x) =0 (это нули функции). + – – + +
f(x) f / (x) x y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 7 3 0 -5 + – – + + Исследуйте функцию у = f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 4 точки экстремума Ответ:2 - 8 8
f(x) f / (x) x y = f / (x) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + – – + + Найдите количество точек экстремума функции у = f (x) на отрезке [ – 3; 7 ] Ответ: 3 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -5 - 8 8 7 3 0
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-3;10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). -1 0 1 3 6 7 8 9 -1 + 0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35 Ответ: 35 2
Найти производную f ´. Найти стационарные и критические точки функции f (х). Отметить промежутки знакопостоянства f ´. и промежутки монотонности функции f (х). Найти D ( f ) и исследовать на непрерывность функцию f (х).
17 Область определения : R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36. Находим критические точки: y’= 0. x²-x-6 =0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5 -2 3 + - + 5.Функция возрастает при x ϵ (-∞; -2 ) υ ( 3; +∞), функция убывает при x ϵ ( -2; 3 ).
18 Область определения : R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= 3 x²-6x. Находим критические точки: y’= 0. x²- 2 x = 0 x(x-2)= 0 x 1 =0 и x 2 =2 Делим область определения на интервалы: Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x² 0 2 - + 5. Функция возрастает при x ϵ (-∞;0] υ [2;+∞), функция убывает при x ϵ [0 ; 2]. +
Найти D ( f ) и исследовать на непрерывность функцию f (х). Найти производную f ´ Найти стационарные и критические точки функции f (х) и на координатной прямой отметить промежутки знакопостоянства f ´. Посмотрев на рисунок знаков f ´, определить точки минимума и максимума функции и вычислить значения f (х) в этих точках.
20 Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x 2 +2)’=2x. Приравниваем её к нулю: 2x= 0, откуда x = 0 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 0 - + х =0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =2.
21 Исследовать на экстремум функцию y= 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=( 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1)’=x 2 -4x+3. Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5. x =1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x =3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =1. 1 3 + + -
Найти область определения функции f (х). Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f (х): а) четной или нечетной; б) периодической. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства производной функции f (х). Выяснить, на каких промежутках функция f (х) возрастает, а на каких убывает. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f (х) в этих точках. Исследовать поведение функции f (х) в окрестности характерных точек не входящих в область определения. Построить график функции.
Область определения : D (f)=R Четность – нечетность функции : f (-x)=x 4 -2x 2 -3, значит f (-x) = f (x) для любого х, принадлежащего D (f) – функция является чётной. Координаты точек пересечения графика с осями координат с ось Оу: f(x)=0: (x 2 - 3 )(x 2 + 1) =0; x=± ; с осью Ох: f(0)=- 3 Промежутки знакопостоянства производной f’. f’(x)= 4х 3 - 4 x= 4х (x-1)(x+1) =0 х = -1; 0; 1.
Промежутки монотонности функция f (х). Точки экстремума и значения f в этих точках. Составить таблицу. x (- ∞ ; -1) -1 (-1; 0 ) 0 ( 0 ; 1 ) 1 (1;+ ∞ ) f’(x) − 0 + 0 - 0 + f(x) -4 -3 -4 min max min
Построить график функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b], нужно вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка; вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку; Выбрать из них наибольшее и наименьшее. Записывают : max f(x) и min f(x) [a;b] [a;b]
![Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b]](https://s1.showslide.ru/s_slide/9fe1/7dec8821-14d2-45a0-b786-5fa23e085209.jpeg "Решение задач по теме «Исследование функции с помощью производной»")
ВАРИАНТ №1 ВАРИАНТ №2 Сборник задач по математике Богомолов Н.В. № 227 (1, 5, 7) № 228 (1, 3, 5) № 227 (2, 6, 8) №228 (2, 6, 10
