Д ве прямые на плоскости называются параллельными, если Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются Параллельность прямых обозначается знаком Пусть a и b – две прямые и c – пересекающая их третья прямая, называемая секущей. Обозначим углы, образованные этими прямыми, цифрами 1,..., 8, как показано на рисунке. они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Е сли прямые a и b параллельны, то пишут ||. a || b. сответственными ; угл ы 3 и 5, 4 и 6 называются в нутренними накрест лежащими ; углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними.
Теорема. (Признак параллельности двух прямых.) Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180 o, то эти две прямые параллельны. Следствие 3. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
Следствие 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. Следствие 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние одностронние углы составляют в сумме 180 о. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. Аксиома параллельных. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос о количестве прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой, имеет давнюю и интересную историю. Среди аксиом в "Началах" Евклида пятый по счету постулат по своему содержанию совпадает с аксиомой параллельности: "Через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой прямой". На протяжении двух тысячелетий после Евклида математики пытались доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей, рано или поздно в их рассуждениях обнаруживались ошибки. Лишь в 1826 году великий русский геометр Н.И. Лобачевский (1792-1856), профессор Казанского университета, предположил, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов (аксиом) Евклида, т.е. нельзя доказать. Поэтому его можно взять или в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято другое свойство о существовании нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал совершенно новую – неевклидову геометрию, которая была названа геометрией Лобачевского.
Идеи Лобачевского были настолько оригинальны и настолько противоречили так называемому здравому смыслу, что их не поняли даже крупные математики того времени. Несмотря на это, Лобачевский не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но и твердо верил в ее применимость к исследованию реального пространства. Признание геометрии Лобачевского пришло только после его смерти. Работы Лобачевского были переведены на другие языки и изучались математиками всего мира. В настоящее время геометрия Лобачевского является неотъемлемой частью современной математики и находит применение во многих областях человеческого знания, способствует более глубокому пониманию окружающего нас мира.
Как могут располагаться на плоскости две прямые относительно друг друга ? Ответ: Д ве прямые на плоскости могут иметь одну общую точку или не име ть общих точек.
Какие прямые называются параллельными? Ответ: Д ве прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек.
Какая прямая называется секущей двух данных прямых? Ответ: Секущей называется прямая, пересекающая две данные прямые.
Назовите соответственные углы. Ответ: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Назовите внутренние накрест лежащие углы. Ответ: 3 и 5, 4 и 6.
Назовите внутренние односторонние углы. Ответ: 4 и 5, 3 и 6.
Сформулируйте п ризнак параллельности двух прямых. Ответ: Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
Сформулируйте аксиому параллельных. Ответ: Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
Как связаны между собой внутренние накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Равны.
Как связаны между собой соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Равны.
Как связаны между собой внутренние одност о ронние углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: С оставляют в сумме 180 о.
Лучи АВ и CD не имеют общих точек. Следует ли из этого, что они параллельны? Ответ: Нет.
Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. Ответ:
Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. Ответ:
Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. Ответ:
Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB. Ответ:
Укажите пары параллельных прямых. Ответ: a и f, b и e, c и g, d и h, p и q.
Какие прямые на рисунке параллельны? Ответ: c и d.
При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов. Сколько из них может оказаться тупых? Ответ: 0, 2 или 4.
Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми? Ответ: Да.
Могут ли быть равны внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей? Ответ: Да.
Могут ли все углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, быть равными между собой? Ответ: Да.
Сумма внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равна 70 о. Чему равен каждый из углов? Ответ: 35 о.
Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, втрое больше одного из остальных. Найдите все углы. Ответ: 135 о, 45 о.
Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из углов равен 150 о ; б) один из углов на 70 о больше другого. Ответ: а) 150 о, 30 о ; б) 55 о, 125 о.
Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна 30 о. Найдите эти углы. Ответ: 75 о, 105 о.
Угол АВС равен 80 о, а угол BCD равен 120 о. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Ответ: Нет.
Ответ: Да. В треугольнике АВС A = 40 о, B = 70 о. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла АВ D. Будут ли прямые АС и BD параллельны ми?
Противоположные стороны четырехугольника АВС D попарно параллельны. Найдите величины углов этого четырехугольника, если A = 30 о. Ответ: B = 150 o, C = 30 o, D = 150 o.
Найдите величину суммы углов ABC и BCD, изображенных на рисунке. Ответ: 18 0 o.
Проведите луч CD, для которого сумма углов ABC и BCD равна 180 о. Ответ:
