Определение. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
Две прямые Лежат в одной плоскости Не лежат в одной плоскости (скрещиваются) Имеют общую точку (пересекаются) Не имеют общих точек (параллельны) Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Теорема. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются. Признак скрещивающихся прямых Доказательство. Пусть прямая a лежит в плоскости, а прямая b пересекает плоскость в точке B, не принадлежащей прямой a. Если бы прямые a и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежала бы и точка B. Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью должна быть плоскость. Но тогда прямая b лежала бы в плоскости, что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.
Ответ: Нет. Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве скрещиваются? Упражнение 1
Ответ: A 1 D 1 ; B 1 C 1 ; DD 1 ; CC 1. Назовите прямые, проходящие через вершины куба A…D 1 и скрещивающиеся с прямой AB. Упражнение 2
Решение: Каждое ребро участвует в четырех парах скрещивающихся прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра куба A…D 1 ? Упражнение 3
В тетраэдре ABCD укажите пары скрещивающихся ребер. Ответ: AB и CD ; BC и AD ; AC и BD. Упражнение 4
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы? Решение: Для каждого ребра оснований имеется три ребра, с ним скрещивающихся. Для каждого бокового ребра имеется два ребра, с ним скрещивающихся. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно Упражнение 5
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы? Решение: Каждое ребро оснований участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Каждое боковое ребро участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно Упражнение 6
Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, скрещивающиеся с прямой AA 2. Ответ. BC, CD, B 1 C 1, A 1 D 1, B 2 C 2, C 1 D 1, C 2 D 2. Упражнение 7
Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, скрещивающиеся с прямой AB. Ответ. DD 1, CC 1, C 2 C 3, D 2 D 3, A 1 D 1, A 2 D 2, B 2 C 2, B 1 C 1, A 3 D 3, B 3 C 3. Упражнение 8
Ответ: Прямая b пересекает плоскость в точке, не принадлежащей прямой a. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещиваются. Как расположены в пространстве прямые a и b, проведенные в плоскостях и ? Упражнение 1 2
Ответ: Прямая GH пересекает плоскость ABB 1 в точке, не принадлежащей прямой EF. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые EF и GH скрещиваются. Как в пространстве расположены прямые EF и GH, проведенные в плоскостях граней куба A … D 1 ? Упражнение 1 3
Ответ: Прямая GH пересекает плоскость ABD в точке, не принадлежащей прямой EF. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые EF и GH скрещиваются. Как в пространстве расположены прямые EF и GH, проведенные в плоскостях граней тетраэдра? Упражнение 1 4
Ответ: По предыдущей задаче прямые EF и GH скрещиваются. Следовательно, точки E, F, G, H не принадлежат одной плоскости. Значит, прямые EH и FG скрещиваются. Как в пространстве расположены прямые EH и FG ? Упражнение 1 5
Возможно ли такое расположение карандашей?
