Методическая разработка Рудаковой Татьяны Викторовны Учителя математики МБОУ «Гимназия № 2 » г. Курчатова Курской области Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ)
Теоретические факты: а) пропорциональные отрезки в треугольниках б) отношение площадей треугольников. Теорема Менелая. Применение теоремы для решения задач.
Теорема Фалеса Параллельные прямые пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Теоремы об отношении площадей треугольников 1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы О А А´ В В´ С С´ А В С К М
2. Пусть ∆АВС и ∆АВ D имеют общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот, проведенных из вершин С и D. S(∆ АВС) : S (АВ D ) = СР: DQ. 3.Отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты равно отношению оснований: S(∆ АВС) : S (АВ D ) = AC :А D. А В С D P Q А В С D P
Решение Проведем ВР параллельно КМ. По теореме Фалеса для угла N АК: По теореме Фалеса для угла ВСР: 4. Итак, z =4 d, тогда А N= 6z=24d, значит С N :А N =5:24. Ответ: 5:24 А С В М К N 4х 5х у 5у Р 5z z N 4x 5d 4d
Предложенный вариант решения задачи – один из традиционных, без применения теоремы Менелая. Рассмотрим другой (более рациональный) способ решения, применяя указанную теорему Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки С´, А´ и В´, не совпадающие с вершинами ∆ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство Для дальнейшего решения задач воспользуемся необходимым условием данной теоремы.
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то В А С В´ А´ С´
Проведем СК //АВ, тогда ∆СКВ´ ~ ∆ АС´В´, поэтому СК = 2. ∆ СКА´ ~ ∆ВС´А´, поэтому 3. Подставляя СК из п.1, имеем В А С В´ К А´ С´
Стрелки на рисунке (от точки А) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции. Найдем Ответ: А С В N M K 4х 5х у 5у
Найти: Ответ: Задача. ( Р.К.Гордин. Математика. ЕГЭ-2014. ЗадачаС4. №6.10) В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису С D ? Решение: Для треугольника ВС D и секущей АК: Найдем ДА: = ДА = 3. Найдем : В С А К D О
Решение: Для тр. АСК и секущей В L найдем отношение CQ : QK. 2. Проведем высоту СР. СР// QH. 3. По теореме Фалеса Н – середина РК, тогда QH -средняя линия СРК, значит СР=3. 4. S (АВС) =0,5 АВ•СР, тогда АВ=2 S (АВС) :СР=4. Ответ: АВ = 4. А В С К 2x 3x L 5y 3y Q H Р
Найти Ответ: Решение: Для ∆АВС и секущей К L : 2. АР = РС = АС = 4 z = 2 z, значит = 3. Для ∆АВМ и секущей К L : А В С М К L 2 х 3х у 2у 3 z z О Р 2z
а) докажем, что Для ∆АВ F и секущей DC : 2. Для ∆АЕС и секущей F В: 3. Для ∆ DBC и секущей ЕА аналогично А В С Е F D М К N х 2 х z 2z у 2у
б) Итак, Тогда Ответ: А В С D E F М N K М К
Используемая литература ЕГЭ 2014.Математика. Задача С4. Гордин Р.К. Под ред. Семенова А.Л.2013г. Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г. http://alexlarin.net/ege/2014/trvar67.html
