Преподаватель – к.т.н., доцент, Лапидус Александр Анатольевич Lapidus_a_a@mail.ru ; 534-48-00; 8-921-358-84-16 кафедра «Электрические станции и автоматизация энергетических систем»
В конце семестра экзамен
1.1. Определение надежности 1.2. Свойства, характеризующие надежность 1.3. Состояния, характеризующие надежность объектов энергетики 1.4. События, характеризующие надежность объектов энергетики 1.5. Средства обеспечения надежности объектов энергетики
2.1. Множества 2.2. События 2.3. Вероятность 2.4. Элементы комбинаторики 2.4.1. Перестановки 2.4.2. Размещения 2.4.3. Сочетания 2.5. Случайные величины и их распределения 2.5.1. Числовые характеристики распределений 2.5.2. Законы распределения дискретных случайных величин 2.5.3. Законы распределения непрерывных случайных величин
3.1. Невосстанавливаемые объекты 3.2. Объекты с мгновенным восстановлением 3.3. Объекты с конечным временем восстановления 3.4. Показатели надежности электрических сетей и систем электроснабжения
4.1. Общие положения 4.2. Последовательное соединение элементов 4.3. Параллельное соединение элементов 4.4. Последовательно-параллельное соединение элементов 4.5. Метод минимальных путей и сечений 4.6. Метод декомпозиции
1. Гук Ю. Б., Карпов В. В., Лапидус А. А. Теория надежности. Введение: учеб. пособие. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 165 с. 2. Гук Ю. Б., Карпов В. В. Расчеты надежности электрических сетей и систем: Учеб. пособие. – Л. : Изд. ЛПИ, 1990. 3. Гук Ю. Б., Синенко М. М., Тремясов В. А. Расчет надежности схем электроснабжения. – Л. : Энергоатомиздат, 1990. 4. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения : введ. 01.07.90. – М., 1989.
1.1. Определение надежности Задумаемся, что такое НАДЕЖНОСТЬ
ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения «Надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения, транспортировки.»
В энергетике: Надежность – это свойство объекта выполнять заданные функции в заданном объеме. Заданные функции – бесперебойное и безопасное снабжение потребителя электроэнергией требуемого качества
Вообще выделяют следующие свойства: В электроэнергетике к ним можно добавить: 1. Безотказность 2. Долговечность 3. Ремонтопригодность 4. Сохраняемость 5. Устойчивоспособность 6. Режимная управляемость 7. Живучесть 8. Безопасность
1. Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние ( РСС ) в течение некоторого времени или некоторой наработки. РСС – когда значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют нормативам. Наработка – объем работы объекта (ч, м3, кВтч и т.д.)
2. Долговечность – свойство объекта сохранять РСС до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Предельное состояние – когда дальнейшее применение объекта по назначению недопустимо или нецелесообразно, либо восстановление невозможно или невыгодно.
3. Ремонтопригодность – свойство объекта быть приспособленным к предупреждению и обнаружению причин отказов, к поддержанию и восстановлению работоспособности путем технического обслуживания, ремонта, замены. Отказ – переход объекта на более низкий уровень работоспособности. Отказы – полные и частичные.
4. Сохраняемость – свойство объекта сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения, транспортировки.
5. Устойчивоспособность – свойство объекта непрерывно сохранять устойчивость в течение заданного времени.
6. Режимная управляемость – свойство объекта поддерживать нормальный режим посредством управления.
7. Живучесть – свойство объекта противостоять возмущениям, не допуская их каскадного развития с массовым нарушением питания потребителей.
8. Безопасность – свойство объекта не допускать ситуации, опасные для людей и окружающей среды. Безопасность – настолько важное свойство, что его часто выделяют из понятия надежности.
20 Категории электроприёмников по надёжности (ПУЭ, раздел 1.2)
21 Категории электроприемников Категория Первая Первая особая Вторая Третья К чему может привести перерыв электро-снабжения опасность для жизни людей, угроза для безопасности государства, значительный материальный ущерб, расстройство сложного технологического процесса, нарушение функционирования особо важных элементов коммунального хозяйства, объектов связи и телевидения не обеспеченность безаварийного останова производства, угроза жизни людей, взрывы, пожары массовый недоотпуск продукции, массовые простои рабочих, механизмов и промышленного транспорта, нарушение нормальной деятельности значительного количества городских и сельских жителей остальное Источники питания 2 независимых взаимно резервирующих дополнительное питание от третьего независимого взаимно резервирующего 2 независимых взаимно резервирующих 1 источник питания Допустимый перерыв питания на время автоматического восстановления питания на время, необходимое для включения резервного питания действиями дежурного персонала или выездной оперативной бригады на время, необходимое для ремонта или замены поврежденного элемента, не более 24 часов
Работоспособное – когда объект способен выполнять заданные функции; Неработоспособное ; Рабочее – когда объект выполняет заданные функции; Нерабочее ; Предельное – см. п. 1.2; Резервное – рабочее состояние объекта, при котором он осуществляет резервирование других объектов; Зависимый простой – нерабочее состояние работоспособного объекта, возникающее вследствие отключения других объектов или проведения на них работ, требующих отключения данного объекта.
1) Отказ работоспособности 2) Отказ функционирования 3) Авария 4) Восстановление
1) Отказ работоспособности – переход объекта на более низкий уровень работоспособности; 2) Отказ функционирования – переход объекта на более низкий уровень функционирования; Для объектов, функционирующих не непрерывно отказы функционирования делятся на:
Отказ срабатывания – отказ функционирования, заключающийся в невыполнении объектом требуемого срабатывания ; Ложное срабатывание – отказ функционирования, заключающийся в срабатывании объекта при отсутствии требования срабатывания Излишнее срабатывание – отказ функционирования, заключающийся в срабатывании объекта при требовании срабатывания других объектов и отсутствии требования срабатывания данного объекта
3) Авария – переход объекта на существенно более низкий уровень работоспособности (или функционирования) с серьёзным нарушением режима работы объекта. 4) Восстановление – повышение уровня работоспособности (или функционирования), которое осуществляется в результате: а) аварийного, планового, внепланового ремонта; б) профилактического обслуживания.
Полные Частичные Внезапные Постепенные Независимые Зависимые Устойчивые Самоустраняющиеся Отказы
Резервирование – повышение надежности объекта введением избыточности; Техническое обслуживание – работы для поддержания исправности или работоспособности объекта при подготовке к использованию по назначению; Ремонт – работы для поддержания или восстановления исправности или работоспособности объекта; Техническая диагностика – контроль за уровнем работоспособности; Диспетчерское управление (ручное и автоматическое) – управление режимом энергосистемы и входящих в неё энергетических объектов, осуществляемое в процессе производства, преобразования и распределения электроэнергии; Релейная защита и автоматика.
Структурное Функциональное Временн ό е Информационное Постоянное (неявное) Замещением (явное)
Структурное – использование избыточных элементов структуры. Функциональное – использование способности элементов выполнять дополнительные функции. Временн ό е – использование избыточного времени, когда системе предоставляется дополнительное время для решения задачи.
Информационное – использование избыточной информации. Постоянное (неявное) – когда резервный элемент предварительно нагружен, а при отказе резервируемого элемента система продолжает выполнять требуемые функции без переключений. Замещением (явное) – когда функции резервируемого элемента передаются резервному только после отказа резервируемого элемента.
Ремонтный – для восполнения вывода в плановый ремонт; Оперативный – для компенсации небаланса между генерируемой и потребляемой мощностями; Аварийный – для восполнения аварийного выхода из строя; Нагрузочный – для восприятия случайных колебаний нагрузки; Эксплуатационный (= номинальная мощность минус текущая)
Постоянное (неявное) Рабочий источник Рабочий источник Рабочий источник Резервный источник Потребитель Потребитель Замещением (явное) Нормальный режим
Постоянное (неявное) Замещением (явное) Аварийный режим Рабочий источник Рабочий источник Рабочий источник Резервный источник Потребитель Потребитель РЗ АВР РЗ
Примечание: Невыпускаемый резерв обусловлен ограничениями пропускной способности сетей в ОЭС Северо-Запада, Сибири и Востока
ГОСТ 27.310-95. Надежность в технике. Анализ видов, последствий и критичности отказов. Основные положения. связывает: тяжесть последствий отказов; ожидаемую частоту возникновения отказа; требуемую глубину анализа отказа.
Категория отказа Тяжесть последствий Катастрофический отказ Отказ, который быстро и с высокой вероятностью может повлечь за собой значительный ущерб для самого объекта и/или окружающей среды, гибель или тяжелые травмы людей, срыв выполнения поставленной задачи Критический отказ Отказ, который быстро и с высокой вероятностью может повлечь за собой значительный ущерб для самого объекта и/или окружающей среды, срыв выполнения поставленной задачи, но не создает угрозы жизни и здоровью людей Некритический отказ Отказ, который может повлечь задержку выполнения задачи, снижение готовности и эффективности объекта, но не представляет опасности для окружающей среды, самого объекта и здоровья людей. Отказ с пренебрежимо малыми последствиями Отказ, который может повлечь снижение качества функционирования объекта, но не представляет опасности для окружающей среды, самого объекта и здоровья людей
Категория отказа Ущерб для объекта Угроза для человека Угроза для окр.среды Выполняемая задача Катастрофический отказ Есть Есть Есть Срыв Критический отказ Есть Нет Есть Срыв Некритический отказ Нет Нет Нет Задержка Отказ с пренебрежимо малыми последствиями нет Нет Нет Снижение качества
А обязателен углубленный количественный анализ В желателен количественный анализ С можно ограничиться качественным анализом D анализ не требуется
Ожидаемая частота возникновения Катастрофи-ческий отказ Критичес-кий отказ Некритичес-кий отказ Пренебрежи-мо малые последствия Частый отказ А А А С Вероятный отказ А А В С Возможный отказ А В В D Редкий отказ А В С D Практически невероятный отказ В С С D
2.1. Множества Множество – совокупность элементов А = { a 1 ; a 2 ; … ; a n } Если n = 0, то это пустое множество. Если n = ∞, то это бесконечное множество.
Соотношения между множествами определяются наличием или отсутствием общих элементов. Диаграммы Эйлера-Венна:
1) А и В имеют общие элементы, но каждое множество имеет элементы, которые не принадлежат другому множеству. Множества пересекаются. А В
2) А и В не имеют общих элементов. Множества не пересекаются. А В
3) Все элементы множества В являются элементами множества А. Но существуют такие элементы множества А, которые не являются элементами множества В. Множество В является подмножеством А. А В
4) Все элементы множества А являются элементами множества В. И наоборот. Множества А и В совпадают. А В
а) Объединение б) Пересечение в) Разность г) Дополнение
Объединение множеств А и В – это такое множество С, которое содержит все элементы множеств А и В. С = А U В С = А + В А В
Пересечение множеств А и В – это такое множество С, которое содержит элементы, являющиеся общими для множеств А и В. С = А ∩ В С = А ∙ В С = АВ А В
Разность множеств А и В – это такое множество С, которое содержит те элементы множества А, которые не являются элементами множества В. С = А \ В А В
Дополнение множества А – это такое множество С, которое содержит все элементы, не являющиеся элементами множества А. С = А С = S \ A А А S S – множество всех элементов
1. (А + В) + В = A + B
2. (А ∙ В) ∙ В = А ∙ В (1),(2) = > а) Добавление одного из множеств не меняет выражения. б) Логические уравнения нельзя «сокращать».
3. (А + В) ∙ С = А ∙ С + В ∙ С = + А В С А В С А В С
4. А ∙ В + С = (А + С) ∙ (В + С) = ∙ А В С А В С А В С
5. А \ B + B = А + В (A \ B) ∙ B = 0
6. A + A = S A ∙ A = 0
7. А + B = А ∙ B A + B = А ∙ B
8. А ∙ B = А + B A ∙ B = А + B
Каждое испытание приводит к некоторому исходу. Множество всех возможных исходов – пространство элементарных событий S. Событие – подмножество множества S, включающее в себя все исходы, удовлетворяющие некоторому критерию.
Бросаем 2 кубика. S = { 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 2,1; …; 6,5; 6,6 } С1 – событие, когда сумма равна 8. С1 = { 2,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2 } С2 – событие, когда на кубиках одинаковые числа. С2 = { 1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5; 6,6 } С1 ∙ С2 = {4,4 } ≠ 0 С1 и С2 – совместные события С1 + С2 = { 1,1; 2,2; 2,6; 3,3; 3,5; 4,4; 5,3; 5,5; 6,2; 6,6 } С3 – событие, когда сумма равна 7. С3 = { 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1 } С2 ∙ С3 = 0 С2, С3 – несовместные события
Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдёт ( U ). Невозможное событие – событие, которое не может произойти ( V). Случайное событие – событие, которое может произойти, а может не произойти.
Если С1 ∙ С2 = V, то события несовместны. Если С1 ∙ С2 ≠ V, то события совместны. Если С1 ∙ С2 = V и С1 + С2 = S, то события противоположны. Противоположными называются 2 несовместных события, образующие полную группу случайных событий.
ПГС – это такая группа случайных событий, что в результате опыта произойдёт хотя бы одно из них. Замечание. В ПГС могут присутствовать как несовместные, так и совместные события.
Например, при бросании кубика обязательно произойдет одно из следующих событий: С1 – число ≤ 3 С2 – число ≥ 5 С3 – чётное число
Группа гипотез – это такая ПГС, что в результате опыта произойдёт одно и только одно из событий. Замечание: 1) По сути группа гипотез – это полная группа несовместных событий. 2) Гипотезы не обязательно равновозможны.
Г1 – число ≤ 2 Г2 – число ≥ 3
Гипотезы называются равновозможными, если нет оснований считать, что одна из них является более возможной, чем другая.
Вероятность – численная мера степени объективной возможности наступления случайного события. Обозначение: Р(А)
1. Р(А) – число от 0 до 1 2. Р( S) = 1; P(U) = 1; P(V) = 0 3. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) На основе этих аксиом строится вся теория вероятности. Из аксиомы 3 следует: Р(А) = 1 – Р(А)
Есть 2 подхода: 1. На основе рассуждений ( априорные вероятности, то есть «до опыта»). 2. На основе опыта ( апостериорные вероятности, то есть «после опыта»).
Если результат опыта можно представить в виде группы равновозможных гипотез (исходов), то вероятность события А равна: Р(А) = m / n, где m – число исходов, благоприятствующих событию А; n – общее число всех возможных исходов.
Вероятность события А равна: Р(А) = lim m / n n → ∞ где m – количество появлений события А; n – количество испытаний при достаточно большом их числе
Пусть вероятность события А зависит от того, появилось или не появилось событие В. Такие события называются зависимыми. Такая вероятность называется условной : Р(А | В) - вероятность А при условии В или Р В (А) Формула для вычисления условной вероятности: Р(А | В) = Р(АВ) / Р(В)
События называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятности второго. То есть, когда: Р(А | В) = Р(А)
а) Независимые события Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) Р(А 1 А 2 …А n ) = Р(А 1 ) ∙ Р(А 2 ) ∙ … ∙ Р(А n ) б) Зависимые события Р(АВ) = Р(А) ∙ Р( B|A) Р(А 1 А 2 …А n ) = Р(А 1 ) ∙ Р(А 2 |A 1 ) ∙ Р(А 3 |A 1 A 2 ) ∙ …
а) Совместные и независимые события Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) Р(А + В + С) = = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(АС) + Р(АВС) Р(А + В + С + D ) = = Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р( D ) – – Р(АВ) – Р( A С) – Р( AD ) – Р( BC ) – Р( BD ) – Р(С D ) + + Р(АВС) + Р(АВ D ) + Р( A С D ) + Р(ВС D ) – P(ABCD)
б) Совместные и зависимые события Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) ∙ Р(В | А)
в) Несовместные события Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А 1 + А 2 + … + А n ) = Р(А 1 ) + Р(А 2 ) + … + Р(А n )
г) Противоположные события Р(А) + Р(А) = 1 д ) Группа гипотез Р(Н 1 ) + Р(Н 2 ) + … + Р(Н n ) = 1
Пусть Н 1, Н 2, …, Н n – группа гипотез. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез. Тогда вероятность события А равна: Р(А) = Р(Н 1 )∙Р(А | Н 1 ) + Р(Н 2 )∙Р(А | Н 2 ) +…+ Р(Н n )∙Р(А | Н n )
Н 1 Н 2 Н 3 Н 4
А
А Н 1 Н 2 Н 3 Н 4
А Н 2 Н 3 Н 4 А А Н 1 А Р(А) = Р(Н 1 )∙Р(А | Н 1 ) + Р(Н 2 )∙Р(А | Н 2 ) + + Р(Н 3 )∙Р(А | Н 3 ) + Р(Н 4 )∙Р(А | Н 4 )
Пусть Н 1, Н 2, …, Н n – группа гипотез. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез. Проведён опыт, в результате которого появилось событие А. Тогда вероятность того, что событие А произошло в результате определённой гипотезы Н i, равна:
В формуле Байеса: Дано: Р(Н i ) – априорная вероятность гипотезы Н i (насколько вероятна причина вообще Н i, то есть до опыта); Р( A| Н i ) – вероятность события А при истинности гипотезы Н i. Найти: Р(Н i |A ) – апостериорная вероятность гипотезы Н i (насколько вероятна причина Н i с учетом факта происшедшего события А, то есть после опыта); Итак, формула Байеса позволяет переставить причину и следствие, то есть по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано конкретной заданной причиной.
По линии связи посылаются сигналы 1 и 0 с вероятностями 0,6 и 0,4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями 0,9 и 0,1 принимаются сигналы 1 и 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями 0,3 и 0,7 принимаются сигналы 1 и 0. Какова условная вероятность того, что посылается сигнал 1 при условии, что принимается сигнал 1?
Рассматриваем гипотезы: Н1 – посылается сигнал 1; Р(Н1) = 0,6 Н2 – посылается сигнал 0; Р(Н2) = 0,4 Рассматриваем зависимые события: А|Н1 – принят сигнал 1 при условии, что послан сигнал 1; Р(А|Н1) = 0,9 А|Н2 – принят сигнал 1 при условии, что послан сигнал 0; Р(А|Н2) = 0,3 Н1|А – послан сигнал 1 при условии, что принят сигнал 1; Р(Н1|А) = ? По формуле Байеса:
Перечислительная комбинаторика рассматривает задачи подсчёта количества различных конфигураций (например, перестановок, размещений, сочетаний и т.д.). Это нужно для расчета m и n в формуле априорной вероятности.
Перестановкой из n элементов называется всякий упорядоченный набор этих n элементов. Обозначим число перестановок n элементов П n. Пример: 123 132 213 231 312 321 П 3 = 6.
Пусть k ≤ n. Сочетанием из n элементов по k называется всякий неупорядоченный набор k элементов, выбранных из n данных элементов. Замечание: 2 сочетания являются одинаковыми, если имеют одинаковый состав элементов. При этом они могут иметь разный порядок этих элементов. Например, 12 = 21. Обозначим число сочетаний из n элементов по k : С n к. Пример: из элементов 1,2,3 берём сочетания по два элемента: 12 23 13 С 3 2 = 3.
Пусть k ≤ n. Размещением из n элементов по k называется всякий упорядоченный набор k элементов, выбранных из n данных элементов. Замечание: 2 размещения являются разными, если имеют не только разный состав элементов, но и разный порядок этих элементов. Например, 12 ≠ 21. Обозначим число размещений из n элементов по k : А n к. Пример: из элементов 1,2,3 берём размещения по два элемента: 12 4) 21 23 5) 32 13 6) 31 А 3 2 = 6.
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от множества причин, которые заранее не могут быть учтены. Каждый исход испытания характеризуется случайной величиной. Х = {x 1, x 2, …} Случайные величины: ДСВ – дискретные НСВ - непрерывные
ДСВ – СВ, которая принимает отдельные изолированные возможные значения. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.
НСВ – СВ, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений всегда бесконечно.
Закон распределения СВ полностью характеризует случайную величину. Но для решения многих задач достаточно использовать числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание М; дисперсия D ; среднеквадратическое отклонение (СКО) σ.
это наиболее вероятное, усредненное значение СВ. ДСВ: НСВ:
это мера разброса СВ, то есть её усреднённое отклонение от математического ожидания. ДСВ: НСВ:
для ДСВ и НСВ: D(X) = M((X – M(X)) 2 ) D(X) = M(X 2 ) – (M(X)) 2
это также мера разброса СВ, но в отличие от дисперсии СКО измеряется в тех же единицах, что и сама СВ.
Если закон распределения СВ неизвестен, но имеется выборка значений СВ объёмом n, то можно приблизительно оценить математическое ожидание и дисперсию:
ЦСВ – это отклонение СВ от её математического ожидания Х = Х – М М(Х) = 0 D(X) = D(X)
это ЦСВ, выраженная в долях СКО. Z = X / σ М( Z) = 0 D(Z) = 1
ДСВ задаётся: рядом распределения; функцией распределения (интегральный закон)
это совокупность всех возможных значений х i дискретной СВ Х и соответствующих им вероятностей p i. Замечание: события х i образуют группу гипотез = > x i x 1 x 2 x n p i p 1 p 2 p n
Графически эту таблицу задают гистограммой или полигоном
это функция F(x), равная вероятности того, что СВ примет значение, не превышающее х. F(x) = P(X < х ) =
Из 100 изделий, среди которых 10 дефектных, выбирают случайным образом 5 изделий. Построить ряд распределения дефектных изделий в данной выборке.
Задать НСВ таблицей нельзя. НСВ задают: функцией распределения F(x) (интегральный закон); плотностью распределения f(x) (дифференциальный закон).
Функция распределения – это вероятность того, что НСВ примет значение, меньшее х. F ( x ) = P ( X < x ) Свойства: Р ( а < Х < b ) = F ( b ) – F ( a ) F ( x 1 ) < F ( x 2 ) <=> x 1 < x 2 (функция F не убывает ) lim F ( x ) = 1 x → ∞ lim F ( x ) = 0 x → – ∞
Плотность распределения: Плотность распределения связана с функцией распределения:
Свойства
Рассмотрим следующие распределения ДСВ: биномиальное (закон Бернулли); Пуассона (закон редких событий)
Теорема 4. Пусть р – вероятность события А. Тогда вероятность того, что из n независимых испытаний ровно k исходов будут благоприятны, равна: р n ( k ) = C n k p k (1 – p ) n – k - формула Бернулли.
Доказательство: Рассматривается 2 возможных исхода испытания: или появление, или отсутствие интересующего события А. Считаем, что испытания независимы. Пусть р – вероятность появления события А; р = const от опыта к опыту; Тогда (1 – р ) – вероятность отсутствия события А. Пусть из n исходов k – благоприятные, удачные.
Тогда вероятность пересечения k удачных и (n – k) неудачных будет равна: р k (1 – р ) n – k. При этом число способов, которыми из n исходов можно получить k удачных, равно:
Тогда вероятность того, что из n независимых испытаний k исходов будут благоприятны, равна: р n ( k ) = C n k p k (1 – p ) n – k
У биноминального распределения достаточно просто рассчитываются М и D : М = np D = np (1 – p)
Энергосистема имеет 150 генераторных блоков. Вероятность отказа одного блока равна 0,06. а) Определить вероятность того, что в данный момент не работают ровно 2 блока. б) При каком числе k вероятность отказа одновременно k блоков будет максимальной? Определить эту вероятность.
р = 0,06 1 – р = 1 – 0,06 = 0,94 р 150 ( 2 ) = C 150 2 ·0,06 2 ·0,94 150 – 2 = 0,00424. М = 150·0,06 = 9 = k D = 9·0,94 = 8,46 σ = 2,91 р 150 ( 9 ) = C 150 9 ·0,06 9 ·0,94 150 – 9 = 0,136.
р 150 (к) 0,136 9 k
Теорема 5. Пусть р – вероятность события А. При этом р – очень малое число. Проводится серия из n испытаний. Среднее число появления события А не меняется в различных сериях испытаний. а = np = const. Тогда вероятность появления k событий А равна
У распределения Пуассона достаточно просто рассчитываются М и D : М = D = а
Завод производит реле с вероятностью дефекта 0,01. Покупаем 200 реле. Найти вероятность того, что среди купленных реле: не будет дефектных реле; будет 1 дефектное реле; будет 2 дефектных реле и т.д. Построить ряд распределения числа дефектных реле среди купленных.
р 200 (к) 0,271 1 k 2 3 4 0 0,135 0,181 0,09
Рассмотрим следующие распределения НСВ: экспоненциальное; нормальное.
Задаётся плотность распределения: f(x) = λ exp(– λ x), где λ = const > 0 – единственный параметр распределения; х ≥ 0 Это распределение моделирует время между двумя последовательными совершениями одного и того же события.
f λ x В этом распределении х – время (например, в ч); λ – средняя интенсивность события (например, ч -1 )
F(x) = 1 – exp(– λ x), М(Х) = 1/ λ D (Х) = 1/ λ 2
F 1 x Функция распределения
В среднем выключатель отказывает раз в 20 лет ( λ = 1/20). Тогда вероятность отказа выключателя: за 10 лет: 1 – exp( – 10 /20) = 0,39; за 20 лет: 1 – exp( – 2 0 /20) = 0,63; за 40 лет: 1 – exp( – 4 0 /20) = 0,86; за 60 лет: 1 – exp( – 6 0 /20) = 0,95.
Плотность распределения: Функция распределения:
В отличие от экспоненциального распределения (с единственным параметром λ ), характеризуется двумя параметрами: математическое ожидание a ; СКО σ.
f x a
F x a 1 0,5
Видно, что: график f ( х ) симметричен относительно оси х = а ; график F(x) симметричен относительно точки ( а ; 0,5). Отсюда – идея центрировать эти функции: f ( х ), чтобы она стала чётной; F(x), чтобы она стала нечётной.
Пусть z = (x – a ) / σ. Этот аргумент – безразмерный, т.к. х, a, σ имеют одинаковые размерности. То есть функцию не только центрируют, но и нормируют.
Плотность распределения: Функция распределения:
f z 0
F z 1 0,5 0
Функция F(z) по-прежнему неудобна, т.к.: она не является ни чётной, ни нечётной; интеграл не берётся. Введём функцию Лапласа: Докажем, что F ( z) = 0,5 + Ф( z)
Ф z – 0,5 0,5
Функция Лапласа Ф (z) нечётная, поэтому её можно задать только при z ≥ 0. Интеграл также не берётся, но его значения можно задать таблицей. z 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Ф( z) 0 0,0793 0,1554 0,2257 0,2881 0,3413 0,3849 z 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 Ф( z) 0,4918 0,4452 0,4641 0,4772 0,4861 0,4918 0,4953
С помощью функции Лапласа можно вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение между х 1 и х 2 : Р(х 1 < Х < х 2 ) = F( х 2 ) – F( х 1 ) = = 0,5 + Ф (z 2 ) – 0,5 – Ф (z 1 ) = Ф (z 2 ) – Ф (z 1 ), где z 1,2 = ( х 1,2 – а ) / σ
Рассматривается НСВ – мощность нагрузки, МВт. Данная НСВ имеет нормальное распределение с мат. ожиданием 10 МВт и СКО 2 МВт. Найти вероятность того, что мощность нагрузки примет значение от 12 до 14 МВт. z 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Ф( z) 0 0,0793 0,1554 0,2257 0,2881 0,3413 0,3849 z 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 Ф( z) 0,4918 0,4452 0,4641 0,4772 0,4861 0,4918 0,4953
Решение: z 1 = ( х 1 – а ) / σ = (12 – 10 ) / 2 = 1; z 2 = (х 2 – а ) / σ = (14 – 10 ) / 2 = 2; Р(12 < Х < 14) = Ф ( 2 ) – Ф ( 1 ) = 0,4772 – 0,3413 = = 0,1359.
3.1. Невосстанавливаемые объекты Пусть при t = 0 объект начинает работу; при t = Т происходит отказ объекта. Т – НСВ, которая называется наработка до отказа. Обозначим функцию распределения этой НСВ Q(t). Назовём Q(t) функцией отказа. По определению: Q(t) = P(T < t) – вероятность отказа объекта до момента t.
Q t 1
Введем понятие плотности вероятности отказа объекта f(t). Аналитически: f(t) = Q’(t). Статистически: где m(t) – количество объектов, отказавших к моменту времени t ; N(t) – количество объектов, исправных к моменту времени t ; N 0 – количество объектов, исправных при t = 0.
f t
Обозначим вероятность безотказной работы в течение времени t : R(t) = P(T > t) Назовём R(t) функцией надежности. Аналитически: R(t) = 1 – Q(t). Статистически:
R t 1
Q R f Q = 1 – R R = 1 – Q f = Q’ f = – R’
f t t Q(t) R(t)
R t 1 Т 0 Докажем, что Т 0 равно площади под графиком функции надежности R(t)
Статистически: где t i – наработка до отказа i - го объекта; N 0 – первоначальное количество исправных объектов. Причём испытания проводят, пока все N 0 объектов не откажут.
Если нет возможности дожидаться отказа всех объектов (из-за недостатка времени), то Т 0 можно оценить так: где t – время испытания; m – число отказавших объектов за время t
[ λ ] = с -1, ч -1, год -1 и т. д. Статистически: λ ( t) – число отказов в единицу времени, отнесённое к числу безотказно проработавших до этого времени объектов. С позиций теории вероятности: λ ( t) – условная плотность вероятности отказа объекта при условии, что до рассматриваемого момента отказа не было. Таким образом λ ( t) является локальной характеристикой надёжности, т.е. определяет надёжность объекта в каждый данный момент времени.
Аналитически: Статистически: где m ( Δ t) – количество отказов за время Δ t.
Q R f λ
λ t приработка нормальная работа старение
Для нормальной работы можно считать: λ ( t) = const = λ Тогда R(t) = exp(– λ t) Q(t) = 1 – exp(– λ t) f(t) = λ exp(– λ t) T 0 = 1 / λ Получили экспоненциальный закон распределения с параметром λ.
При экспоненциальном законе вероятность безотказной работы на интервале ( t; t + Δ t) не зависит от времени предшествующей работы t, а зависит только от продолжительности интервала Δ t. Доказательство: R(t; t + Δ t) = exp(– λΔ t) По формуле условной вероятности R(t; t + Δ t) = R(t + Δ t) / R(t) = = exp(– λ (t + Δ t) ) / exp(– λ t) = = exp(– λ (t + Δ t) + λ t)
В практических расчетах при малых временах рассмотренные выше формулы упрощают, используя соотношение из теории эквивалентов: exp(x) ~ 1 + x при х → 0 Тогда R(t) = 1 – λ t R(t; t + Δ t) = 1 – λΔ t Q(t) = λ t Эти зависимости верны для малых λ t (т.е. t << T 0 ).
Эксплуатация восстанавливаемого объекта не прекращается при его отказе. Объект ремонтируется или заменяется новым. Наработка между отказами и продолжительность восстановления являются НСВ. Рассмотрим ситуацию, когда время восстановления << наработки между отказами.
t Т 1 Т 2 Т 3 Т k t 1 t 2 t 3 t k t k-1 0
до первого отказа f 1 (t); до второго отказа f 2 (t); … до k- го отказа f k (t). Пусть первый отказ произошёл в момент τ ; пусть второй отказ произошёл в момент t.
t I отказ τ τ + Δτ Δτ t+ Δ t t 0 II отказ Δ t t – τ
Наработка на второй отказ равна t – τ. Рассмотрим вероятность того, что второй отказ произойдёт на интервале ( t; t + Δ t): Δ f 2 ( t ) Δ t = f 1 ( τ ) Δτ ∙ f 1 ( t – τ ) Δ t Разделим на Δ t и проинтегрируем по τ от 0 до t :
Пояснение: Дошли до ( k – 1) -го отказа, зафиксировали накопившуюся вероятность и начали отсчёт времени с нуля. Значит, следующий отказ будет первым => => в интеграле имеется f 1 (t).
f t 2T 0 T 0 3T 0 f 1 f 2 f 3
Каждый график f k (t) имеет максимум в точке t = k Т 0. Каждый график f k (t) приблизительно симметричен относительно оси t = k Т 0. Максимальное значение функции f k (t) уменьшается с ростом k, т.к. накапливаются неопределённости по предыдущим наработкам. Кривая f k (t) становится более пологой (широкой) с ростом k.
Назовём сумму f 1 (t) + f 2 (t) + … + f k (t) = ω (t) параметром потока отказов. По сути ω (t) – это плотность вероятности отказа. С одной стороны функция ω (t) является локальной по времени, с другой стороны она охватывает одновременно все отказы, т.е. является глобальной по отказам.
ω t 2T 0 T 0 3T 0 f 1 f 2 f 3
График ω (t) имеет максимумы в точках t = k Т 0. Кривая ω (t) стабилизируется с течением времени и с ростом k на уровне 1/Т 0, т.е. процесс возникновения отказов становится стационарным, его локальные характеристики перестают зависеть от времени.
Потоки отказов могут обладать свойствами: Свойство ординарности. Вероятность совмещение 2-х и более отказов в один момент времени равна нулю. Свойство отсутствия последействия. Числа отказов для любых неперекрывающихся интервалов времени независимы. Свойство стационарности. Вероятность появления k отказов на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности Δ t и не зависит от начала отсчёта времени.
Если выполняется (1), то поток ординарный. Если выполняются (1) и (2), то поток пуассоновский. Если выполняются (1), (2), (3), то поток простейший.
f 1 ( t ) = λ exp(– λ t ) f 2 ( t ) = λ 2 exp(– λ t ) … ω( t ) = λ T 0 = 1/ λ
Вероятность k отказов за время t : Вероятность безотказной работы за время t : P 0 ( t ) = exp(– λ t )
Время восстановления τ = t п + t р t п – поиск неисправности; t р – ремонт или замена. Пусть объект, проработав время T 1, выходит из строя и восстанавливается в течение τ 1. Восстановленный объект через T 2 вновь отказывает, за τ 2 снова восстанавливается и т.д.
t Т 1 τ 1 Т 2 τ 2 t 1 о 0 t 1 в t 2 о t 2 в Работа Восста-нов-ление Работа Восста-нов-ление
1) Т k, τ k – независимые НСВ. 2) Все периоды работы Т k имеют: - законы F(t), f(t) ; - среднюю наработку на отказ Т = М(Т k ); - интенсивность отказов λ = 1/Т. 3) Все периоды восстановления τ k имеют: - законы G(t), g(t) ; - среднее время восстановления τ = М( τ k ) ; - интенсивность восстановлений μ = 1/ τ. 4) Поток отказов и восстановлений – простейший.
Кг( t) – это вероятность того, что в момент времени t объект находится в работоспособном состоянии (РСС). Найдём зависимость Кг( t). Вероятность застать объект в РСС в момент ( t + Δ t ) зависит от его состояния в момент t и его поведения на интервале Δ t.
t Работа Работа Восста-нов-ление t+ Δ t t t+ Δ t Н1: изначально объект работал, далее за время Δ t работал безотказно Н2: изначально объект восстанавливался (т.е. не работал), далее за время Δ t успел восстановиться R( Δ t) G( Δ t)
Р(А) = Р(Н 1 )∙Р(А | Н 1 ) + Р(Н 2 )∙Р(А | Н 2 ) Кг( t + Δ t ) = Кг( t )∙ R( Δ t ) + (1 – Кг( t ) ) ∙ G( Δ t ) Вероятность РСС Вероятность безотказной работы Вероятность НРСС Вероятность восстановления
В разделе 3.1 доказано, что: R( Δ t ) = 1 – λΔ t; G( Δ t ) = μΔ t. Подставим:
Коэффициент неготовности – вероятность нахождения объекта в НРСС. Кнг = 1 – Кг Кнг (0) = 0 Кнг ( ∞) = λ /( λ + μ ) = τ /(Т+ τ ) график Кнг ( t) Коэффициент аварийного простоя – относительная длительность восстановления. q ав = λ / μ = τ /Т
Система состоит из множества элементов. Надёжность системы зависит от надёжности её элементов и от её конфигурации. Каждый элемент системы и сама система могут находиться только в двух состояниях – работы или отказа. Если все элементы системы работают, то и сама система тоже работает. Если все элементы отказали, то и система отказала.
А i – событие безотказной работы i -го элемента; А i – событие отказа i -го элемента; А с – событие безотказной работы системы; А с – событие отказа системы;
физических схем: они имеют действительные, электрические связи; логических (расчётных) схем: они отражают логические связи, в смысле надёжности. Отказом системы считают отсутствие связи между началом и концом логической схемы.
Потребитель мощностью 3 МВт получает электропитание от 3-х одинаковых линий с пропускной способностью 2 МВт каждая. Физическая схема Логическая схема 1 2 3
Потребитель мощностью 3 МВт получает электропитание от 3-х одинаковых линий с пропускной способностью 2 МВт каждая. Физическая схема Логическая схема 1 2 3 1 2 3 2 3
Докажем справедливость логической схемы с помощью таблицы истинности Физическая схема Логическая схема 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 Отказ Разрыв 0 0 0 Да Да 0 0 1 Да Да 0 1 0 Да Да 0 1 1 Нет Нет 1 0 0 Да Да 1 0 1 Нет Нет 1 1 0 Нет Нет 1 1 1 Нет Нет
Последовательным (в смысле надёжности) называют такое соединение, при котором отказ одного элемента приводит к отказу всей системы, но не изменяет надёжности других элементов. Тогда вероятность безотказной работы системы равна системы равна произведению б.о.р. всех элементов: Р(А с ) = Р(А 1 ) ∙ Р(А 2 ) ∙ … ∙ Р(А n )
Вероятность б.о.р. системы, состоящей из независимых и невосстанавливаемых элементов в течение времени t : R с ( t) = R 1 ( t) ∙ R 2 ( t) ∙ … ∙ R n ( t) Т.к. R i (t) = exp(– λ i t), то R с ( t) = exp(– λ 1 t) ∙ exp(– λ 2 t) ∙ … ∙ exp(– λ n t ) = = exp(– ( λ 1 + λ 2 + … + λ n ) t)
С другой стороны R с ( t) = exp(– λ с t) Значит λ с = λ 1 + λ 2 + … + λ n 1/Т с = 1/Т 1 + 1/Т 2 + … + 1/Т n ; Т с = 1 / ( 1/Т 1 + 1/Т 2 + … + 1/Т n )
Число отказов системы равно сумме чисел отказов элементов. Допустим, за время t : элемент 1 претерпевает h 1 отказов; элемент 2 претерпевает h 2 отказов; … элемент n претерпевает h n отказов. Рассмотрим поток отказов системы:
––––x––––––––––x–––––––x––––––––––––––– 1 эл. ––––––––x–––––––––––––––x–––––––––––––– 2 эл. –––––x–––––––––––––––––––––––––––x––––– 3 эл. ––––––––––x–––––––––––––––––––––x–––––– 4 эл. –––– хх –– х –x–––– х –––––––– хх –––––––x х ––––– Система h с = h 1 + h 2 + … + h n = > λ с = λ 1 + λ 2 + … + λ n
Вероятность б.о.р. системы: R(t) = exp(– λ с t) = exp(– t /Т с )
В этом случае при отказе элемента, на время его восстановления отключается вся система. После окончания восстановления элемента все элементы начинаю т работать так, как если бы восстановление происходило мгновенно.
Дано: последовательность средних периодов б.о.р. элементов: Т 1, Т 2, …; со средним временем б.о.р. системы: Т с = 1 / ( 1/Т 1 + 1/Т 2 + … ) и последовательность средних периодов восстановления элементов: τ 1, τ 2, … Найти среднюю длительность восстановления системы τ с
Вероятность отказа i -го элемента на отрезке Δ t: λ i Δ t Вероятность отказа системы на отрезке Δ t: λ с Δ t Тогда условная вероятность отказа i -го элемента при условии, что на этом же интервале отказала система, равна: λ i Δ t / λ с Δ t = λ i / λ с По формуле полной вероятности найдём распределение длительности восстановления для системы, начавшегося в момент t : G c (t) =
= … (вывести самостоятельно)
4.3.1. Резервирование одного элемента (n-1) резервным Система с параллельным ( в смысле надёжности) соединением элементов выходит из строя только в случае отказа всех её элементов.
Вероятность отказа такой системы равна: Р(А с ) = Р(А 1 ) ∙ Р(А 2 ) ∙ … ∙ Р(А n ) (при этом считаем, что отказы всех элементов независимы). Вероятность б.о.р. системы равна: Р(А с ) = 1 – (1 – Р(А 1 )) ∙ (1 – Р(А 2 )) ∙ … ∙ (1 – Р(А n )) Вероятность отказа системы: Q с ( t) = Q 1 ( t) ∙ Q 2 ( t) ∙ … ∙ Q n ( t) Вероятность б.о.р. системы равна: R c ( t ) = 1 – (1 – R 1 ( t )) ∙ (1 – R 2 ( t )) ∙ … ∙ (1 – R n ( t ))
При равнонадежных элементах и экспоненциаль-ном законе: Q с ( t) = (1 – exp(– λ t)) n, где λ – частота отказа элемента схемы. Вычислим среднее время б.о.р. системы: Т с = …
При n → ∞ Т с = ln ( n )/ λ Например: n = 100: Т с = 4,6/ λ n = 1 0 00: Т с = 6,9/ λ n = 1 0 0 00: Т с = 9,2/ λ Вычислим параметры системы Т с, τ с, λ с, μ с через параметры равнонадёжных элементов Т, τ, λ, μ : Вывод формул выполним через величины: q с, q – вероятности застать систему и элемент в состоянии простоя.
Т с = Т / n τ n-1 ; τ с = τ / n ; λ с = n λ / μ n-1 ; μ с = n μ
Пусть система состоит из n элементов. Пусть для нормального функционирования системы необходимо r элементов. Тогда остальные ( n – r ) элементов являются резервными. Отказ системы наступает при выходе из строя ( n – r + 1) элементов.
k = (n – r) / r – кратность резервирования n – r r n
Как рассчитать функции надежности Rc и отказа Q с всей системы, зная Ri и Qi каждого элемента? В общем виде – громоздкое выражение, поэтому примем допущение, что все элементы равнонадёжны и имеют функции R 1 = R 2 = … = R, Q 1 = Q 2 = … = Q. Сначала выведем формулы для частного случая.
Дано: Найти: n = 5 Rc r = 2 Qc n – r + 1 = 4 k = 1,5 R Q
Очевидно, что для системы: Rc + Qc = 1 и для каждого элемента: R + Q = 1 Отсюда следует, что: Rc + Qc = (R + Q) 5 =
По способу включения резервных элементов резервирование бывает: постоянное (резервные объекты включены в систему в течение всего времени работы и находятся в одинаковых с другими объектами условиях) замещением (резервные объекты включают в систему вместо основных после отказа последних)
Отказавший элемент должен отключаться защитной аппаратурой, надёжность которой будет определять надёжность всей схемы.
Отказавший элемент должен отключаться защитной аппаратурой, а резервный элемент должен включаться аппаратурой автоматики. Надёжность этих видов аппаратуры будет определять надёжность всей схемы.
В этом случае логическая схема поэтапно эквивалентируется до одного элемента. р 1 р 2 р 1 р 2 р экв = р 1 р 2 р экв = р 1 + р 2 – р 1 р 2
при последовательном соединении р общ меньше меньшего; при параллельном соединении р общ больше большего, но меньше 1.
Этот метод применяют, когда структуру системы нельзя свести к последовательно-параллельным цепочкам. Введем следующие понятия: Путь – последовательность смежных элементов, соединяющая вход и выход схемы. Сечение – совокупность элементов, удаление которых приводит к нарушению связи между входом выходом.
Минимальный путь – путь, удаление из которого хотя бы одного элемента приводит к тому, что оставшееся множество элементов не будет путём. Минимальное сечение – сечение, удаление из которого хотя бы одного элемента приводит к тому, что оставшееся множество элементов перестаёт быть сечением.
Минимальные пути: 14, 25, 135, 234 Минимальные сечения: 12, 45, 135, 234 1 2 4 5 3
1 4 2 5 1 3 2 3 5 4
1 4 2 5 1 3 2 3 5 4 Р(Ас) = р 2 + р 2 + р 3 + р 3 – – р 4 – р 4 – р 4 – р 4 – р 4 – р 5 + + р 5 + р 5 + р 5 + р 5 – – р 5 Р(Ас) = 2р 2 + 2р 3 – 5р 4 + 2р 5
