Урок-лекция по теме: Геометрия –11 класс Сфера, шар основные характеристики
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. r d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус; d – диаметр
Определение сферы R Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра. т. О – центр сферы О D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. D = 2R Параллель (экватор) меридиан диаметр R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.
R 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу ( меридиан) 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель) 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7. Провести радиус сферы R О
(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 R МС = R, или МС 2 = R 2 следовательно уравнение сферы имеет вид: уравнение окружности имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2 М М(х;у ;z ), C C(x 0 ;y 0 ;z 0 )
Решение так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25
r d Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки. d = r d > r Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек. Возможны 3 случая
α C Сечение шара плоскостью есть круг. r Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 1 случай d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r. r = R 2 - d 2 М С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом. d
α C (0 ;0; d) d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 2 случай d
α C (0 ;0; d) d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 3 случай d
Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α - секущая плоскость d = 9 дм М К О R d Найти: r сеч = ? Решение: Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R 2 - d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81=1600 отсюда r сеч = 4 0 дм Ответ: r сеч = 4 0 дм r
Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Планиметрия Стереометрия А О О А В r r Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Признак касательной. Планиметрия Стереометрия А О О r А В r Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательно к сфере. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. касательная касательная пл.
112 № 5 92 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы. 15 В А 112 О N В N – искомое расстояние
O B М N C P A O 1 C М A B N P № 5 84 Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.
Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2 Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга S шара =4 S круга
Дано: сфера R = 8 см Найти: S сф = ? Решение: S сф = 4 π R 2 S сф = 4 π 8 2 = 256π см 2 Ответ: S сф = 256π см 2
R V шара = 4 / 3 П R 2
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. V ш. сегмента =П h 2 (R- 1 / 3 h) V ш. слоя = V ш.сег.1 -V ш.сег.2 Основание сегмента Высота сегмента ( h) R Шаровой слой
V ш. сектора = 2 / 3 П R 2 h Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90 о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса R h
