1 Вычислительная математика Лекция 2
2 Тема 2. Решение нелинейных алгебраических уравнений Постановка задачи: Дано : нелинейное уравнение f ( x ) = 0 (1) Найти : корень (решение) – числовое значение ξ, при подстановке которого в (1) уравнение обращается в верное равенство.
3 5. Метод простой итерации Необходимо преобразовать уравнение f ( x ) = 0 к виду x = φ ( x ) так, чтобы φ ( x ) непрерывно дифференцируема на [ a, b ] и f ( ξ ) = 0 ξ = φ ( ξ ). Далее, пусть x 0 [ a, b ]. Строится последовательность x 1, x 2, …, x k, …, где x k = φ ( x k- 1 ), k = 1, 2, ….
4 5. Метод простой итерации Теорема (достаточное условие сходимости) Если выполнено условие | φ ( x ) | q < 1 при x [ a, b ], то и справедливы оценки:
5 5. Метод простой итерации y = f ( x ) b = x 0 x y a ξ y = – ε y = ε x = ξ + ε f ( a ) f ( b ) x = ξ – ε y = φ ( x ) y = x f ( x 0 ) f ( x 1 )
6 5. Метод простой итерации y = f ( x ) b = x 0 x y a ξ y = – ε y = ε x = ξ + ε f ( a ) f ( b ) x = ξ – ε y = φ ( x ) y = x f ( x 0 ) f ( x 1 )
7 5. Метод простой итерации y = f ( x ) b = x 0 x y a ξ y = – ε y = ε x = ξ + ε f ( a ) f ( b ) x = ξ – ε y = φ ( x ) y = x x 1 φ ( x 0 ) φ ( x 1 )
8 5. Метод простой итерации y = f ( x ) b = x 0 x y a ξ y = – ε y = ε x = ξ + ε f ( a ) f ( b ) x = ξ – ε y = φ ( x ) y = x x 1 x 2 φ ( x 0 ) φ ( x 1 )
9 5. Метод простой итерации y = f ( x ) b = x 0 x y a ξ y = – ε y = ε x = ξ + ε f ( a ) f ( b ) x = ξ – ε y = φ ( x ) y = x x 1 x 2 x 3 φ ( x 0 ) φ ( x 1 ) φ ( x 2 )
10 5. Метод простой итерации Пример преобразования : - для нахождения положительного корня: - для нахождения отрицательного корня:
11 5. Метод простой итерации
12 Общее описание метода : Шаг 1. x 0 = a ( x 0 = b ), k = 0; Шаг 2. Шаг 3. Если | x k+ 1 – x k | < ε или (и) | f ( x k+ 1 )| < ε, то ξ ≈ x k+ 1, иначе k = k +1 и Шаг 2. 5. Метод простой итерации
13 Пример расчета Найти отрицательный корень уравнения 4(1 – x 2 ) – e x = 0, с точностью ε = 0,01. 5. Метод простой итерации Итерация k x k | x k - x k- 1 | | f ( x k )| 0 -1 0,368 1 -0,953 0,047 0,018 2 -0,951 0,002 0,001 Итерация k x k | x k - x k- 1 | | f ( x k )| 0 0 3 1 -0,866 0,866 0,579 2 -0,946 0,080 0,032 3 -0,950 0,004 0,002
14 5. Метод простой итерации Пример расчета Найти положительный корень уравнения 4(1 – x 2 ) – e x = 0, с точностью ε = 0,01. Итерация k x k | x k - x k- 1 | | f ( x k )| 0 0 3 1 0,866 0,866 1,377 2 0,637 0,229 0,487 3 0,726 0,089 0,177 4 0,6951 0,031 0,063 5 0,7064 0,011 0,023 6 0,7024 0,004 0,008
15 5. Метод простой итерации Пример расчета Найти положительный корень уравнения 4(1 – x 2 ) – e x = 0, с точностью ε = 0,01. Итерация k x k | x k - x k- 1 | | f ( x k )| 0 1 2,718 1 0,5661 0,434 0,957 2 0,7481 0,182 0,352 3 0,6868 0,061 0,126 4 0,7093 0,022 0,045 5 0,7013 0,008 0,016 6 0,7042 0,003 0,006
16 5. Метод простой итерации Блок-схема алгоритма нет x 1 := ( x 0 ) k := k +1 | x 1 -x 0 |< ε*q /(1 -q ) End да k :=0 Begin x 1 := a ( x 1 := b ) x 0 := x 1 нет x := ( x ) k := k +1 | f ( a )|< ε End да k :=0 Begin x := a ( x := b ) 1) 2)
17 Ввод исходных данных в программу на языке Pascal const eps = 0.001; var a, b: double ; function f(x: double ): double ; begin f := 4*(1 – sqr(x)) – exp(x); end ; function df(x: double ): double ; { f ( x ) } begin df := 8*(x) – exp(x); end ; function fi(x: double ): double ; { φ ( x ) } begin fi := sqrt(1 – exp(x)/4); end ; begin a := 0; b := 1; ... end.
