Высказывание. Логические операции
Высказывание. Логические операции. Логика (от др. греческого ЛОГОС — мысль) — наука о законах человеческого мышления
Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике Л огик а Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение). Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).
Логическое выражение можно рассматривать как логическую функцию, аргументами которой являются логические переменные. Функция и аргументы могут принимать только два значения: «истина» или «ложь» – 0 или 1. Функции такого вида называются булевыми по имени Джорджа Буля (1815-1864). Джордж Буль (1815-1864) английский математик и логик
Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами – числами, многочленами, векторами и др. Алгебра
Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями: Земля вращается вокруг Солнца. Москва - столица. Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются. Без стука не входить! Откройте учебники. Ты выучил стихотворение? Высказывание Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием: Это высказывание ложное.
Высказывание или нет? Зимой идет дождь. Снегири живут в Крыму. Кто к нам пришел? У треугольника 5 сторон. Как пройти в библиотеку? Запишите домашнее задание
Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний. В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными. Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей ( А = 1 ), а если ложно - нулём ( В = 0 ). 0 и 1 называются логическими значениями. Алгебра логики
Простые и сложные высказывания Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций. Название логической операции Логическая связка Конъюнкция «и»; «а»; «но»; «хотя» Дизъюнкция «или» Инверсия «не»; «неверно, что»
Определение Логика – это наука о формах и способах мышления Формы мышления понятие суждение (высказывание, утверждение) умозаключение
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта; Понятие имеет две стороны: содержание и объем; Содержание – это совокупность существенных признаков объекта; Объем – это совокупность предметов, на которые распространяется понятие;
Высказывание Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними; Высказывание может быть либо истинно, либо ложно ; Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков; Высказывания могут быть выражены только повествовательным предложением; Высказывания могут быть простыми и составными ; Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла; Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.
Умозаключение Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое суждение; Посылками умозаключения могут быть только истинные суждения
Унарные функции (операции) Унарные функции имеют один аргумент. Отрицание - логическая операция инверсии (логическое «НЕТ», «противоположное» исходному. Обозначается X или Х, читается «не X ». Таблицы истинности: X X 0 1 1 0 X X ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ = 0, ИСТИНА = 1 или
Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Другое название: логическое отрицание. Обозначения: НЕ, ¬, ¯. А Ā 0 1 1 0 Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Логические операции Таблица истинности: A Ā
Бинарные функции Бинарные функции имеют два аргумента Дизъюнкция (логическое «ИЛИ», логическое сложение) - логическая операция по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Обозначается X Y (или X Y ), читается « X или Y ». Таблица истинности: Конъюнкция (логическое "И", логическое умножение) - логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Обозначается X Y (или X Y, X & Y ), читается « X и Y », таблица истинности:
Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Другое название: логическое сложение. Обозначения: V, |, ИЛИ, +. А В А V В 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Логические операции Таблица истинности: Графическое представление A B А V В
Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Другое название: логическое умножение. Обозначения: , , &, И. А В А & В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Логические операции Таблица истинности: Графическое представление A B А & В
Бинарные функции продолжение Штрих Шеффера (операция И-НЕ) — обозначается X | Y, таблица значений: X Y X | Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и конъюнкцию: X | Y = ( X Y ) Чтобы это показать, построим таблицу для конъюнкции и инвентируем результат: X Y X Y ( X Y ) 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
Бинарные функции продолжение Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ) — означает «ни X, ни Y », обозначается X ↓ Y, таблица значений: X Y X ↓ Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Стрелку Пирса можно выразить через отрицание и дизъюнкцию: X ↓ Y = ( X Y ) Чтобы это показать, построим таблицу для дизъюнкции и инвентируем результат: X Y X Y ( X Y ) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Чарльз Сандерс Пирс (1839 — 1914), американский философ, логик, математик.
Бинарные функции продолжение Импликация ( implication (англ.) - следствие, вывод) - логическая операция, по своему применению приближенная к союзам «если… то…». Обозначается X Y (или X Y ), таблица истинности: X Y X Y 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Пример: если фигура А квадрат, то фигура А — прямоугольник
Бинарные функции продолжение Эквивалентность — логическая операция. Обозначается X ≡ Y (или X ↔ Y ), означает « X то же самое, что Y », « X эквивалентен Y », « X тогда и только тогда, когда Y ». Таблица истинности: X Y X ≡ Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Все названные бинарные функции можно представить в одной таблице X Y 0 X Y X Y X | Y X ↓ Y X Y X ≡ Y 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 Есть и другие бинарные операции. Всего бинарных операций - 16.
Ключевые слова алгебра логики высказывание логическая операция конъюнкция дизъюнкция отрицание логическое выражение таблица истинности законы логики
