2022 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
2 2022 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Разбиение отрезка – это конечное, упорядоченное по возрастанию множество точек мелкость разбиения : интегральная сумма функции, отвечающая разбиению и выбору точек есть следующая сумма:
3 2022 Функция называется интегрируемой на отрезке, если существует число, что для любого найдется такое, что для любого разбиения отрезка с мелкостью и для любого выбора точек выполняется
4 2022 Число называется определенным интегралом, или интегралом Римана, функции на отрезке, и интеграл обозначается Теорема о необходимом условие интегрируемости. Если интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
5 2022 Постоянная функция интегрируема на любом отрезке, так как для любого разбиения
6 2022 СУММЫ ДАРБУ Полезным для дальнейшего является понятие колебания функции на отрезке : В частном случае для краткости будем обозначать. Примечание: - это точная нижняя грань множества и - это точная верхняя грань множества, то есть.
7 2022 Пусть Суммы называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению.
8 2022 1. При фиксированном разбиении суммы Дарбу являются точными границами множества интегральных сумм. 2. При добавлении точек деления нижняя сумма Дарбу разве лишь увеличивается, а верхняя разве лишь уменьшается 3. Пусть разбиение получено из разбиения добавлением точек деления и — мелкость разбиения. Пусть – верхняя граница функции на, – ее нижняя граница. Тогда 4. Пусть а. Тогда СВОЙСТВА
9 2022 Теорема о критерий Римана. Для того чтобы ограниченная функция была интегрируемой на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение отрезка, при котором или КРИТЕРИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
10 2022 КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема. Если функция монотонна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема. Ограниченная на отрезке функция, имеющая на конечное число точек разрыва, интегрируема на.
11 2022 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ Теорема. Пусть функция и интегрируемы на отрезке, на, на. Тогда при
12 2022 Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция интегрируема и на. Тогда существует такое, что выполняется равенство
13 2022 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА Теорема. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция непрерывная на отрезке и есть ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула
14 2022 СВОЙСТВА 1. Если функция интегрируема при, то имеет место равенство 2. Если функция интегрируема на отрезке, то имеет место равенство 3. Если функция интегрируема на отрезке, то она интегрируема на любом отрезке
15 2022 4. Пусть Если интегрируема на отрезках и, то она интегрируема и на отрезке и имеет место равенство 5. Пусть функции и интегрируемы на отрезке. Тогда функции также интегрируема на и имеет место равенство 6. Если функции и интегрируемы на отрезке, то их произведение тоже интегрируемо на.
16 2022 7. Пусть функция интегрируема на отрезке и. Тогда при И наоборот при. 8. Пусть функция интегрируема на отрезке. Тогда при и функция также интегрируема на отрезке имеет место неравенство
17 2022 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Теорема. Для непрерывно дифференцируемых на отрезке функций имеет место формула интегрирования по частям
18 2022 Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке и причем Тогда при условии, что функция непрерывна на отрезке.
19 2022 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций называются несобственными интегралами. Пусть функция непрерывна на промежутке и интегрируема на любом конечном его отрезке при. Тогда несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом называется предел который обозначается символом то есть
20 2022 Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках и :
21 2022 Если сходятся все интегралы в правой части, то интеграл называется сходящимся, и расходящимся, если хотя бы один из них расходится. Если непрерывна для всех отрезка, кроме точки, в которой имеет разрыв II рода, то по определению где и изменяются независимо друг от друга.
22 2022 Несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела в правой части равенства существуют, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них. В случае или получаем или
23 2022 ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.
24 2022 1. Если функции определены на промежутке, интегрируемы на отрезке, где и для всех, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла (признак сравнения). 2. Пусть на промежутке определены две положительные функции, интегрируемые на любом конечном промежутке. Тогда, если существует конечный предел то интегралы и сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения).
25 2022 3. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл. В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся. 4. Если при функция является бесконечно малой порядка по сравнению с, то интеграл сходится при и расходится при. Примечание: На практике часто для сравнения используется функция. Известно, что сходится при и расходится при.
2022 Спасибо за внимание! МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
