Двойной интеграл. Его свойства. Геометрический смысл. Вычисление двойного интеграла.
Пусть функция определена в области D. Разобьём область D произвольным образом на связные части D i,. В каждой из частей выберем произвольным образом точку. Пусть - площадь подобласти D i,. После чего составим интегральную сумму: (*) Если существует конечный предел интегральных сумм (*) при, который не зависит от способа разбиения области и от выбора точек, то он называется двойным интегралом функции по области D и
и обозначается: Функция, для которой двойной интеграл существует, называется интегрируемой в области D. Пусть граница Г области является кусочно-гладкой линией, т.е. её можно представить в виде конечного числа гладких участков кривых, т.е. линий, имеющих касательную в каждой своей точке. Теорема 1: Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то для неё существует двойной интеграл.
1. Если функции: - интегрируемы в области то их сумма: также интегрируема в этой области и верно равенство: 2. Если функция интегрируема в области, то функция - также интегрируема в этой области и 3. Если функция непрерывна в области и
Пусть функция и для неё существует двойной интеграл: тогда: где V - объём цилиндрического тела, у которого основанием служит проекция поверхности на плоскость xOy, тело ограничено сверху поверхностью.
Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию. Пусть областью изменения независимых переменных является: это криволинейная трапеция на плоскости xOy ( - гладкие линии). Тогда: При этом область интегрирования должна быть правильной в направлении оси Oy. Интеграл по переменной « y » называется внутренним, а по переменной « x »- внешним.
Сначала вычисляется внутренний интеграл и в результате получаем некоторую функцию затем интегрируя её по другой переменной « x », получаем результат: при этом последний интеграл называется внешним. Замечание 1: Пределы интегрирования будут постоянными в обоих интегралах, если область интегрирования есть квадрат или прямоугольник со сторонами параллельными осям координат (в д.с.к.). Замечание 2: Если область интегрирования есть правильная область в направлении оси Ox, то
Тогда соответствующий двойной интеграл: Замечание 3: Если область интегрирования не является правильной ни в одном из координатных направлений, то её представляют в виде суммы конечного числа областей, каждая из которых правильная по одному из направлений Ox либо Oy, затем используя свойства двойного интеграла, производят непосредственно вычисления.
Вычислить значение двойного интеграла: в области Данная область является правильной в обоих направлениях. Поэтому: или:
Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле: . Изобразим область интегрирования: Замечание 4: Пределы интегрирования необходимо расставлять так, чтобы процесс вычисления был наименее трудоёмким.
Не вычисляя двойного интеграла, выяснить, который из них имеет большее значение: Где область D задана своими границами: В области D имеем: т.е. первый имеет большее значение, т.к. для него функция больше.
Рассмотрим отображение области в плоскости на область D в плоскости, которое задаётся с помощью отображения:, где - непрерывно дифференцируемые функции в области. Тогда: где - модуль Якобиана:
Рассмотрим преобразование части плоскости в другую часть другой плоскости, которое задаётся преобразованием: Выделим на плоскости бесконечно малый прямоугольник со сторонами равными и параллельными осям координат. Отображением этого прямоугольника в плоскости является криволинейный четырёхугольник. При этом координаты их вершин будут следующими:
Прямоугольник является прообразом преобразования: криволинейный четырёхугольник – образ преобразования.
Если ограничиться членами первого порядка малости относительно, то координаты точек криволинейного четырёхугольника можно считать равными:
Можно считать, что и с точностью до малых высшего порядка малости четырёхугольник - есть параллелограмм и тогда:
Рассматривая область близка к параллелограмму, построенному на сторонах, поэтому его площадь равна модулю векторного произведения этих векторов:
Окончательно имеем: Если имеем обобщённые полярные координаты:
Записать в полярных координатах область, ограниченную линиями:. Границы области следующие линии: или в полярных и декартовых координатах: После чего получаем область:
Вычислить значение двойного интеграла по площади четверти круга:
Найти массу части пластинки, ограниченной линями: Преобразуем уравнение границы в обобщённые полярные координаты: Найдём уравнение луча ОМ 0 :
Таким образом область D в обобщённых полярных координатах определяется следующими неравенствами: Тогда масса пластинки выражается формулой:
